2021年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．若a的倒数为2，则a＝（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
2．方程﹣1＝2的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（ ）
A．38° B．48° C．58° D．66°
4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）
A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加
B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
5．计算：＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2
6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
7．不等式组的解集为（ ）
A．x＜1 B．x≤2 C．1＜x≤2 D．无解
8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（ ）
A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算：（2a）2•a3＝ ．
12．因式分解：6x2﹣4xy＝ ．
13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝ ．
14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是 ．
15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝ ．
16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 千克．
17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 ．
18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．
22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：
（男性身体属性与人数统计表）
（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．
（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．
25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．
26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．
2021年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．若a的倒数为2，则a＝（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵a的倒数为2，
∴a＝．
故选：A．
2．方程﹣1＝2的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：﹣1＝2，
移项，得＝2+1，
合并同类项，得＝3，
系数化成1，得x＝6，
故选：D．
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（ ）
A．38° B．48° C．58° D．66°
【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
【解答】解：∵∠DCE＝132°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝48°，
故选：B．
4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）
A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加
B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断A，B，C，D选项即可．
【解答】解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加；故A正确，不符合题意；B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故B错误，符合题意；
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意；
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D正确，不符合题意；
故选：B．
5．计算：＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2．
故选：A．
6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．
【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则＝，
解得：x＝＝18（升），
答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
故选：C．
7．不等式组的解集为（ ）
A．x＜1 B．x≤2 C．1＜x≤2 D．无解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式﹣x+1＞0，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜1．
故选：A．
8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°,∠IAB＝108°,
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°,
故选：B．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（ ）
A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0
【分析】由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得与x轴两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围．
【解答】解：∵OP＝1，P不在抛物线上，
∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，
由图象知x1x2＝＜0，
∴ac＜0，
∴ac（a+b+c）＞0，
即M＞0，
故选：D．
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意列出h和角度之间的关系式即可判断．
【解答】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜2.814米即可通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜3.132米即可通过该闸口，
故③不正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算：（2a）2•a3＝ 4a5 ．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．
故答案为4a5．
12．因式分解：6x2﹣4xy＝ 2x(3x﹣2y) ．
【分析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．
【解答】解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．
故答案为：2x(3x﹣2y)．
13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝ 7 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：1078万＝10780000＝1.078×107，
则n＝7．
故答案为：7．
14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，
∴两次都是“正面朝上”的概率＝．
故答案为：．
15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝ 4 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝2OD＝4，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 2.5 千克．
【分析】利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售数量，再求出三者的算术平均数即可得出结论．
【解答】解：黄芪的销售量为120÷80＝1.5（千克），
焦山楂的销售量为120÷60＝2（千克），
当归的销售量为360÷90＝4（千克）．
该中药房的这三种中药的平均销售量为＝2.5（千克）．
故答案为：2.5．
17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 k＜0 ．
【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题．
【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，
又∵0＜x1＜x1+1时，y1＜y2，
∴函数图象在二四象限，
∴k＜0，
故答案为k＜0．
18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 21 度．
【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠DDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠DDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠DDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案为：21．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+×﹣
＝2+﹣
＝3．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣,
当x＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．
【分析】（1）由矩形的性质可得DC∥AB，可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得DB∥EF，可证∠ABD＝∠F，由锐角三角函数可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB∥EF，
∴∠ABD＝∠F，
∴tan∠ABD＝tanF＝，
∴，
又∵BF＝2，
∴BG＝．
22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．
【分析】（1）在Rt△FGH中，由FG＝2FH，可得结论．
（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）∵GM∥PA，
∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝（米）．
（2）∵EF＝4米，FG＝米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，
∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．
23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：
（男性身体属性与人数统计表）
（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的男性人数即可；
（2）根据计算公式求出该女性的BMI数值即可；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，根据抽取人数为55计算出m的值，即可求解．
【解答】解：（1）9+1＝10（人），
答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10；
（2）BMI＝＝＝20,
答：该女性的BMI数值为20；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，
这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：≥17，
这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：n+4+9+8+4≥27，
∵2+2+1+9+m+n+4+9+8+4＝55，
∴m+n＝16，
由条形统计图得n＜4，
,m＝13时，n＝3，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝；
m＝14时，n＝2，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝．
答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为或．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．
（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．
【分析】（1）先求出点A的横坐标，再代入直线y＝2x中求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k；先求出点C的纵坐标，代入直线y＝2x中求出点D的横坐标，即可得出结论；
（2）根据点C的纵坐标求出点E的坐标，进而求出CE＝，进而得出S1＝，由（1）知，A（1，2），D（t，t），求出DE＝﹣t，进而得出S2＝S△ADE＝t2﹣t+﹣1，进而得出U＝S1﹣S2＝﹣（t﹣1）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y＝2x上，
∴y＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
∴B（0，2），
∵点A在函数y＝上，
∴k＝1×2＝2，
∵OC＝t，
∴C（0，t），
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
∴x＝t，
∴点D的横坐标为t；
（2）由（1）知，k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
由（1）知，CE∥x轴，
∴C（0，t），
∴点E的纵坐标为t，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴x＝，
∴E（，t），
∴CE＝，
∵B（0，2），
∴OB＝2．
∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝
由（1）知，A（1，2），D（t，t），
∴DE＝﹣t，
∵CE∥x轴，
∴S2＝S△ADE＝DE（yA﹣yD）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，
∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0＜t＜2，
∴当t＝1时，U最大＝．
25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ECF＝90°，可得结论．
（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，可得结论．
②利用相似三角形的性质求出AC，再求出CM，CG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，
∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．
（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．
②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：2，
∵△ACD∽△OBE，
∴＝，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴AC＝6，
∵M是AC的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴＝＝，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．
26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．
【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；
（2）①由x1+x2＝﹣得到x2＝﹣c＝OC，进而求解；
②证明∠CBD＝∠AFO，而tan∠CBD＝＝＝，tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，即可求解．
【解答】解：（1）当若a＝，b＝c＝﹣2时，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；
（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，
∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△DOB（AAS）；
②∵∠OCA＝∠CAF+∠CFA，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，
∴∠CBD＝∠AFO，
∵OB＝OC，故∠OCD＝45°，
∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，
则DE＝CD＝﹣（c+）＝CE，
则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣c+（﹣c+），
则tan∠CBD＝＝＝，
而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，
解得ca＝﹣2，
而＝＝﹣ac＝2，
故的值为2．