江苏省南通市2021年中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算，结果正确的是（ ）
A. 3 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键．
2. 据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可．
【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意；
B. ，选项计算正确，符合题意；
C．，选项计算错误，不符合题意；
D. ，选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4. 以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率 D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ）
A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：A．
【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ）
A. 24 B. 20 C. 10 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，
Rt△AOD中，，
∴菱形ABCD的周长为：4×5=20，
故选B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长=绳长+1，据此可列方程组求解．
详解】解：设木长x尺，绳长y尺，
依题意得，
故选：D．
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
8. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．
9. 如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，
在Rt△CFB中，BC=(cm)，
AB=AE+EF+FB=15(cm)，
①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，
如图，过点P作PG⊥AB于点G，
，则PG=(0)，
此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；
②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，
此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；
③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，
此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；
④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，
如图，过点P作PH⊥AB于点H，
，则PH=，
此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；
综上，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，
10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式：______________
【答案】.
【解析】
【分析】根据平方差公式分解即可.
【详解】解：.
故答案为.
【点睛】本题考查了多项式因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.
12. 正五边形每个内角的度数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．
【详解】解：∵正多边形的内角和为，
∴正五边形的内角和是，
则每个内角的度数是．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．
13. 圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：依题意知母线长=2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故答案为：2π．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．
若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是___________℃．
【答案】52
【解析】
【分析】根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间t的式子表示此时的温度T，利用一次函数的性质即可解决．
【详解】解：设时间为t分钟，此时的温度为T，
由表格中的数据可得，
每5分钟，升高15℃，故规律是每过1分钟，温度升高3℃，
函数关系式是T=3t+10；
则第14分钟时，即t=14时，T=314+10=52℃，
故答案为：52．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
17. 平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴点P的坐标为(，)，
∴PO=，
∵，
∴当时，有最小值，
且最小值为，
∴PO的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
18. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．
【答案】．
【解析】
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）化简求值：，其中；
（2）解方程．
【答案】（1）原式=4；（2）．
【解析】
【分析】（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．
【详解】解：（1）
=
=
当时，原式==；
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
则原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．
20. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？
【答案】楼高是9米．
【解析】
【分析】先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度．
【详解】解：∵，，
∴m，
∵，，
∴∥，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴楼高是9米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
21. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
甲、乙两种西瓜得分统计表
（1）___________，___________；
（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）根据数据大小波动情况，直观可得答案； （3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．
【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88， 将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90， 故答案为：a=88，b=90； （2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2， 故答案为：乙； （3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．
【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
22. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为___________；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
【详解】解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：；
故答案为：．
（2）画树状图得：
∴共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种；
∴两次取出小球标号的和等于5的概率为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）55°；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；
（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）连接OE，OC，如图，
由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO∠EAO70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，则OC=OE=1，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
24. A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：（元）；
去B超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；
（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【解析】
【分析】（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；
B商场y关于x的函数解析式：，即：；
（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当时，，
令，，
所以，当时，即，去B超市更省钱；
当时，，
令，，
所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；
当时，即，去B超市更省钱；
当时，即，去A超市更省钱；
综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
25. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1) ．
(2)DG//CF．理由见解析．
(3) ．
【解析】
【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为 算出 ．
(2)作辅助线BF、AC，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再证明 、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．
(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．
【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．
点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF
四边形ABCD是正方形
AB=BC，
．
(2) 位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N
由(1)可知，
是等腰直角三角形
四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
垂直平分AF
在 和 中，
在 和 中，
CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 于点M
由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形
设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到
FH=BH
是等腰三角形，
在 和 中，
BM=AE=
②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O
绕点B顺时针旋转得到
由(1)可知：
此时， 与 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，
由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．
26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【解析】
【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．