2021年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．
【详解】解：的相反数是3．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．
【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B，与不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；
C，合并同类项后，故选项错误，不符合题意；
D，完全平方公式：，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的运算，同类项合并及完全平方差公式，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
3. 2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“4600000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式（n为正整数）表示出来即可．
【详解】解：4600000=
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，关键是根据公式（n为正整数）将所给数据表示出来．
4. 正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
5. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片沿折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128︒
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．
6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
7. 如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．
【详解】解：过点C作的延长线于点，
与是等高三角形，
设
，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．
四边形是平行四边形
则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时
（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形
四边形是正方形
，
又，，
又
是等腰三角形
，则圆的半径，
故选：B．
【点睛】本题难度较大，需要具备一定几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先排序，再进行计算；
【详解】解：从小到大排序为：1，1，2，2，3，4，
∵数字有6个，
∴中位数为：，
故答案是2．
【点睛】本题主要考查了中位数求解，准确计算是解题的关键．
10. 计算__________．
【答案】5
【解析】
【分析】直接运用二次根式的性质解答即可．
【详解】解：5．
故填5．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解答本题的关键．
11. 分解因式：____．
【答案】（3x＋1）2
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝（3x＋1）2，
故答案为：（3x＋1）2
【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12. 已知方程有两个相等的实数根，则=____．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：∵有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴9-4k=0，
∴k=．
故答案为．
考点：根的判别式．
13. 如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
【答案】25
【解析】
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
14. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性质与定理是解题关键．
15. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【解析】
【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
16. 如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】解：连接ED
是的中线，
，
设，
与是等高三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】4．
【解析】
【分析】由，，计算出结果．
【详解】解：原式
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算．
18. 解不等式组：．
【答案】x2
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可．
【详解】解：解不等式3x﹣1x+1，得：x1，
解不等式x+44x﹣2，得：x2，
∴不等式组的解集为x2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“解一元一次不等式的方法和确定不等式组解集的方法”是解答本题的关键.
19. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______；
（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为______．
【答案】（1）见解析；（2）108；（3）500
【解析】
【分析】（1）由A种粽子数量240除以占比40%可得粽子总数为600个，继而解得B种粽子的数量即可解题；
（2）将D种粽子数量除以总数再乘以360°即可解题；
（3）用B种粽子的人数除以总数再乘以2500即可解题．
【详解】解：（1）由条形图知，A种粽子有240个，由扇形图知A种粽子占总数的40%，
可知粽子总数有：（个）
B种粽子有（个）；
（2），
故答案为：108；
（3）（人），
故答案为：500．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为；
故答案为：；
（2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生
画树状如下：
4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，
∴（1女1男）．
答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元
【解析】
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．
由题意得：，解之得，，
答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．
（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．
则，
∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．
又，∴．
由于是整数，最大值为67，
即当时，最省钱，最少费用为元．
此时，．
最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．
【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
24. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；
（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；
【详解】（1）∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴是的切线．
（2）由（1）可知，，
又，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
25. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
26. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），；（2），，；（3）
【解析】
【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；
（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；
（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；
【详解】（1）将代入，
化简得，则（舍）或，
∴，
得：，则．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，
由（1）得直线BC的解析式为，，
∴直线AG的表达式为，
联立，
解得：（舍），或，
∴，
由直线AG的表达式可得，
∴，，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：，，
∴，，
∴，，．
（3）如图，取点，连接，过点作于点，
过点作轴于点，过点作于点，
∵，
∴AD=CD，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，．
设，
∵，，
∴．
由，则，即，解之得，．
所以，又，
可得直线对应的表达式为，
设，代入，
得，，，
又，则．所以．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．
27. 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；
（2）是边长为3等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；
【解析】
【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；
（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．
【详解】解:（1）∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又点在处时，，点在A处时，点与重合．
∴点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又点在处时，，点在处时，点与重合，
∴点所经过路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理即，
∴，
点G所经过的路径长为长=，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，
点H所经过的路径长为的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为的长=，
故答案为；．
【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．