湖南省常德市2021年中考数学试卷
一、选择题
1. 4的倒数是（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据互为倒数的两个数的乘积是1，求出4的倒数是多少即可．
【详解】解：4的倒数是：
1÷4=．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一个数的倒数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．
2. 若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意；
B. 在不等式两边同时除以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意；
C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意；
D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．
3. 一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（ ）边形．
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）×180 ，根据多边形的内角和为1800 ，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．
【详解】根据题意得：（n﹣2）×180=1800，
解得：n=12．
故选：D．
【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知n边形的内角和是（n﹣2）×180 ．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项．
【详解】A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键．
5. 舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→①
【答案】D
【解析】
【分析】根据数据的收集、整理、制作拆线统计图及根据统计图分析结果的步骤可得答案．
【详解】解：将用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况的步骤如下：
②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．
③按统计表的数据绘制折线统计图；
①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；
所以，正确统计步骤的顺序是②→④→③→①
故选：D．
【点睛】本题考查拆线统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和拆线统计图的制作步骤
6. 计算：（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
详解】解：
=
=
=2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
7. 如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠BAE=∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD=90°， ∴∠BAE+∠AFD =90°， ∴∠APF=90°， ∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意； 连接FC， 同理可证得△CBF≌△DAF（SAS）， ∴∠BCF=∠ADF， ∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF， ∴∠PDC=∠FCD>∠PCD， ∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意； ∵AD>PD， ∴CD>PD， ∴∠DPC>∠DCP， ∴90°-∠DPC<90°-∠DCP， ∴∠CPE<∠PCE， ∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 8. 阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵或或 ∴7不是广义勾股数，即①正确； ∵ ∴13是广义勾股数，即②正确； ∵，，不是广义勾股数 ∴③错误； ∵，，，且65不是广义勾股数 ∴④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解． 二、填空题 9. 求不等式的解集_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接移项合并同类项即可得出． 【详解】解：， 移项解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握移项合并同类项等步骤． 10. 今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人．用科学计数法表示此数为___________人． 【答案】 【解析】 【分析】把万写成，然后再按科学计数法表示出来；“万”代表4个0． 【详解】万． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学计数法，根据科学记数法的表示形式准确的表示出原数是解题关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班． 【答案】甲． 【解析】 【分析】班级人数相同，都为45人，中位数为班级分数排序以后第23位同学的分数，甲班的91分高于乙班89分，则得出答案． 【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查数据的分析，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，本题的解题关键在于掌握中位数的特点． 12. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出后，再检验即可． 【详解】解： 通分得：， 移项得：， ， 解得：， 经检验，时，， 是分式方程的解， 故答案是：． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验． 13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【详解】试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°． 考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理 14. 如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：由题意：平分，于, ，， 又为公共边， ， ， 在中，，由勾股定理得： ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得． 15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个． 【答案】21 【解析】 【分析】设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可． 【详解】解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得， ， 由①得，， 结合②得， 解得， 所以，刘凯的蓝珠最多有21个． 故答案为：21． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键． 16. 如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示) 【答案】2n2+2n 【解析】 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数 … 由此发现规律是： 第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数 故答案为：2n2+2n． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程． 详解：由原方程，得： （x+1）（x﹣2）=0， 解得：x1=2，x2=﹣1． 点睛：本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】直接将括号里面的分式，通分运算进而结合分式的混合运算法则，计算得出答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，分式的通分，因式分解，平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算，熟练运用公式和分式的计算法则是解题关键． 20. 如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为． （1）求n的值； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）证明，求出BE的长即可得出结论． 【详解】解：（1）∵A，且轴 ∴AH=，OH=n 又的面积为． ∴ ,即 解得，； （2）由(1)得，AH=，OH=1 ∴AO=2 如图， ∵，轴， ∴，四边形AHOE是矩形， ∴AE=OH=1 又 ∴ ∴，即： 解得，BE=3 ∴B(-3,1) ∵B在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B(-3,1)是解答此题的关键． 21. 某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元． （1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？ （2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？ 【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车台． 【解析】 【分析】（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）先求出每台A型车和每台B型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得， 解得， 答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元； （2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元， 设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得， 解得， ∵m是整数， ∴m的最小整数值为， 即，最少需要采购A型新能源汽车台． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题中的数量关系． 22. 今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为，已知小明目高米，距旗杆的距离为15.8米，小刚目高米，距小明24.2米，求国旗的宽度是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：） 【答案】国旗的宽度是1.6米． 【解析】 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．解直角三角形DME得DM的长，即可求出DG，再解三角三角形CNF得CN的长，即可求出CG，利用CG-DG即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形， ∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米）， 在Rt△DME中， ∴ ∴（米）， ∴（米）； 在Rt△CNF中， ∴，即（米）， ∴（米）， ∴（米） 答：国旗的宽度是1.6米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形-仰角俯角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 23. 我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗：B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种，图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）． 请根据统计图回答下列问题． （1）此次抽样调查的人数是多少人？ （2）接种B类疫苗人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？ （3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种． （4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 【答案】（1）200(人)；（2）40%，30人；（3）人；（4）． 【解析】 【分析】（1）根据A类型人数除以所占比例得到总人数； （2）根据B类型人数和总人数得到百分比，根据C类型的百分比和总人数求得人数； （3）估计人数可以用样本中接种了新冠疫苗的百分比乘以总人数得到估算值； （4）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率． 【详解】（1）A类型人数为20人，占样本的10%,所以此次抽样调查的人数是： （人）； （2）B类型人数为80人，所以B类疫苗的人数的百分比是：, 由图可知C类型人数的百分比为15%,所以接种C类疫苗的人数是：（人）． （3）接种了新冠疫苗的为A，B，C类的百分比分别为， 人， 所以小区所居住的18000名居民中接种了新冠疫苗的有：人． （4）如图： 从表中可以看出，共有20种等情况数，符合题意的选中一男和一女的情形共12种， P（一男一女）=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比． 24. 如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可； （2）设OD=x，求证，列比例求解即可． 【详解】解：证明：连接OD，如图： ∵AB为直径， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴ED=EB， ∴， ∵， ∴， ∵OA=OD， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴是圆O的切线． （2）∵E是BC中点，BC=4, ∴BE=2， ∴， 在和中，，， ∴， ∴设OD为x， 则， 解得：, 则． 【点睛】本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用角的等量转化是解决本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为． （1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式； （2）试判断抛物线的顶点是否在直线上； （3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标． 【答案】（1）；（2）顶点是在直线上，理由见解析；（3）P点坐标为（9，）． 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，再求出直线AB的解析式，进而求得E的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F的坐标，再求出直线EF的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可； （3）设P点坐标为（p，），求出直线BP的解析式，进而求得M的坐标；再求FQ的解析式，确定Q的坐标，可得|MQ|=+6，最后根据S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ列出关于p的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）∵平行四边形，B、C、D的坐标分别为 ∴A（3，10）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 则 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=2x+4， 当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4）， 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c， ，解得， ∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为； （2）顶点是在直线上，理由如下： ∵F是的中点， ∴F（8,10）， 设直线EF的解析式为y=mx+n， 则，解得， ∴直线EF的解析式为y=x+4， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为（3，）， ∵=×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线上； （3）∵，则设P点坐标为（p，），直线BP的解析式为y=dx+e， 则 ，解得， ∴直线EF的解析式为y=x+， 当x=0时，y=，则M点坐标为（0，）， ∵AB//FQ ， ∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6， ∴FQ的解析式为y=2x-6 ， ∴Q的坐标为（0，-6）， ∴|MQ|=+6， ∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ = = = = ∴当p=9时，的面积最大时， ∴P点坐标为（9，）． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键． 26. 如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接． （1）求证：； （2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图． ①求证：； ②设与相交于点P，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析，②见解析． 【解析】 【分析】（1）先用，且证明出四边形ATBN平行四边形，得到△TAD≌△CND，用对应边相等与等量代换，从而得出结论． （2）①连接AM、MN，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出△OCM是直角三角形，证明出Rt△OAT≌Rt△OCM，得到对应角相等，则得到答案； ②连接OP，由①中，得到∠OTM=∠OAP，点O、T、A、P共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出∠OPT=90︒，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论． 【详解】证明：（1）∵，且 ∴，且， ∴四边形ATBN是平行四边形， ∴， ∴∠DTA=∠DCN， ∵∠ADT=∠NDC， ∵点D为AN的中点， ∴AD=ND， ∴△TAD≌△CND（AAS） ∴TA=CN， ∵， ∴BN=CN， （2）①如图所示，连接AM、MN， ∵点N关于边的对称点为M， ∴△ANC≌△AMC， ∴∠ACN=∠ACM， ∵AB=AC，点N为AC的中点， ∴平行四边形ATBN是矩形， ∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC， ∵OA=OC， ∴∠CAN=∠ACO， ∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒， ∴∠OAT=∠OCM=90︒， 在Rt△OAT和Rt△OCM中， ∵AT=CM，∠OAT=∠OCM ，OA=OC， ∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS）， ∴∠AOT=∠COM，OT=OM， ∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM， ∴∠TOM=∠AOC ∵OA=OC，OT=OM， ∵， ∴； ②如图所示，连接OP， ∵， ∴∠OTM=∠OAP， ∴点O、T、A、P共圆， ∵∠OAT=90︒， ∴OT为圆的直径， ∴∠OPT=90︒， ∵OT=OM， ∴点P为TM的中点， ∵由（1）得△TAD≌△CND， ∴TD=CD， ∴点D为TC的中点， ∴DP为△TCM的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直角三角形全等，再证明三角形相似．