常州市2022年初中学业水平考试数学试题
一、选择题
1. 2022的相反数是（ ）
A. 2022 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：实数2022的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
3. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．
4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．
【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键．
5. 某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解．
【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．
6. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
7. 在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，
∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点关于轴对称，
∴点的坐标是（-1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
8. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知的加速时间的中位数是，满电续航里程的中位数是，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（ ）
A. 区域①、② B. 区域①、③ C. 区域①、④ D. 区域③、④
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的性质即可作答．
【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数ms，满电续航里程的中位数nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：
A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；
B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；
C项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n的左侧，不符合要求，故C项错误；
D项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m上方，不符合要求，故D项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．
二、填空题
9. 计算：=___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行计算．
【详解】解：∵23=8，
∴，
故答案为：2．
10. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．
11. 分解因式：______．
【答案】xy(x+y)
【解析】
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．
12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．
【答案】1.38×105
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数数．
【详解】解：由题意可知：
138000=1.38×105，
故答案为：1.38×105
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 如图，数轴上的点、分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【解析】
【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．
【详解】解：由图可得：，
由不等式的性质得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
14. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：是边上的中线，为的中点，
根据等底同高可知，的面积的面积，
的面积的面积的面积，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
15. 如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．
【答案】不会
【解析】
【分析】设扭动后对角线的交点为，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断．
【详解】解：设扭动后对角线的交点为，如下图：
，
根据正方形的性质得，
得出扭动后的四边形四边相等为菱形，
，
为等边三角形，
，
，
，
根据菱形的对角线的性质：，
，
不会断裂，
故答案为：不会．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．
16. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
【答案】1
【解析】
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
详解】解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
17. 如图，在四边形中，，平分．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，
，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
18. 如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．
【答案】28
【解析】
【分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图：
，，，
，
在中，，，．
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2x+2
【解析】
【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；
（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．
【小问1详解】
＝2﹣1+
＝；
【小问2详解】
＝
＝2x+2．
【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；解集表示见解析
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
21. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为（不使用）、（1~3个）、（4~6个）、（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是_____，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．
【答案】（1）100，图见解析
（2）合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用频数除以频率即可得出，结合条形统计图及扇形统计图，求出涉及的户数再画图即可；
（2）利用样本估计总体的思想来解释即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量为：（户），
使用情况的户数为：，
占的比例为：，
的比例为：，
使用情况的户数为：，
补全条形统计图如下：
故答案为：100．
【小问2详解】
解：合理，理由如下：
利用样本估计总体：占的比例为：，
（户），
调查小组的估计是合理的．
【点睛】本题考查了形统计图及扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是通过数形结合对数据进行分析．
22. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①概率是______；
（2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画出树状图：
共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．
（1）求、的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）4；6 （2）6
【解析】
【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象轴交于点，
∴，OB=4，
∴一次函数解析式为，
设点C（m，n），
∵的面积是2．
∴，解得：m=1，
∵点C在一次函数图象上，
∴，
∴点C（1，6），
把点C（1，6）代入得：k=6；
【小问2详解】
当y=0时，，解得：x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
24. 如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
（1）按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
（2）在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
【答案】（1）(3,37°)
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【小问1详解】
解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
【小问2详解】
证明：如图，
∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是_______；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】（1）2022 （2）9
【解析】
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
，
故答案为：2022；
【小问2详解】
根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
26. 在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
（3）在四边形中，EH//FG．若边上点是四边形的“等形点”，求的值．
【答案】（1）不存在，理由见详解
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
【小问1详解】
不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
【小问2详解】
如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
【小问3详解】
如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．
27. 已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；
（3）、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．
【答案】（1）
（2）（答案不唯一），
（3）∠ACB=45°或135°
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性求出，即可得到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出，，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵原二次函数解析式为
由题意得平移后的二次函数解析式为，
∴平移后的二次函数对称轴为直线，
∵二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且二次函数的开口向下，
∴，
∴，
∴符合题意的二次函数解析式可以为；
故答案为：（答案不唯一），；
【小问3详解】
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，
∴C的横坐标为，
∴点A的坐标为（m，），点C的坐标为（，），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1，），
∴，，
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
28. （现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．
（1）沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
【答案】（1）直角 （2）见详解
（3）小明的猜想错误，理由见详解
【解析】
【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；
（2）以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；
（3）过C点作，交AB于点G，连接CO，根据，可得，即有，则可求得，依据，NQ=4，可得GC=OC=6，即可判断．
【小问1详解】
如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB直角，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角，
【小问2详解】
以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于⊙O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，
作图如下：
由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，
即四边形EFHG是边长为6cm的菱形；
【小问3详解】
小明的猜想错误，理由如下：
如图，菱形MNQP的边长为4，过C点作，交AB于点G，连接CO，
在菱形MNQP中MN=QN=4，，
∵，
∴，
∴，
∵AB=12，MN=4，
∴，
∵BN=BC-CN，
∴，
∵，NQ=4， ，
∴，
∴GC=6，
∵AB=12，
∴OC=6，
∴OC=GC，
显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，
∵P点在线段AB上，
∴直线GC必与直线PM相交，这与相矛盾，
故小明的猜想错误．
【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键．