数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. －3的倒数是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义，即可计算出结果．
【详解】解：－3的倒数是；
故选：D
【点睛】本题考查了倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的具体要求．
4. 在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（ ）
A. 38 B. 42 C. 43 D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数的定义即可求解．
【详解】解：∵45出现了3次，出现次数最多，
∴众数为45．
故选D．
【点睛】本题考查了求众数，掌握众数的定义是解题的关键．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
5. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
6. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A. 54 B. 36 C. 27 D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
7. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
8. 如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，
GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正确；
∴，
∴OC=2OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题（本大题共8小题，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
10. 已知∠A的补角是60°，则_________．
【答案】120
【解析】
【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．
【详解】解：∵∠A的补角是60°，
∴∠A=180°-60°=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．
11. 写出一个在1到3之间的无理数：_________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．
【详解】解：1和3之间的无理数如．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．
12. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
13. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则_________．
【答案】49
【解析】
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B=∠AOD=41°，根据AC是⊙O的切线得到∠BAC=90°，即可求出答案．
【详解】解：∵∠AOD=82°，
∴∠B=∠AOD=41°，
∵AC为圆的切线，A为切点，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°-41°=49°
故答案为49．
【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．
14. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
15. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
16. 如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据有理数的乘法，二次根式的性质，零指数的计算法则求解即可．
详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，二次根式的性质，零指数，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表：
（1）本次调查的样本容量是_______，统计表中m=_________；
（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）200，40
（2）18 （3）约为400人
【解析】
【分析】（1）从两个统计图中可知，“C篮球”的人数80人，占调查人数的40%，可求出本次调查的样本容量，进而求出m的值；
（2）“B排球”的人数10人，据此可求得相应的圆心角；
（3）用总人数乘以“A乒乓球”的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是：80÷40%=200（人），
m=200-10-80-70=40；
故答案为：200，40；
【小问2详解】
解：扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是360°×=18°，
故答案为：18；
【小问3详解】
解：（人），
估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数约为400人．
【点睛】此题考查统计表、扇形统计图的结合，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提．
21. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画树状图得出所有等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种，
∴甲每次做出“石头”手势的概率为；
【小问2详解】
解：树状图如图所示：
甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种，
∴（乙不输）．
答：乙不输的概率是．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
22. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【答案】有7人，物品价格是53钱
【解析】
【分析】设人数为人，根据“物品价格=8×人数-多余钱数=7×人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可．
【详解】解：设人数为人，由题意得
，
解得．
所以物品价格是．
答：有7人，物品价格是53钱．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
【小问1详解】
将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
【小问2详解】
设一次函数的图像与轴交点为，
将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
24. 我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）
（1）求阿育王塔的高度；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
在中，∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
经检验是方程的解
答：阿育王塔的高度约为．
【小问2详解】
由题意知，
∴，
即，
∴．
经检验是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
【小问2详解】
解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
26. 已知二次函数，其中．
（1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）最大值为
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
【小问3详解】
解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，
,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
27. 【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
（4）如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵在中，，，．
∴．
【小问2详解】
①当点在上方时，
如图一，过点作，垂足为，
∵在中，，，，
∴，
∴．
∵中，，，
，，
∴．
∵点、、在同一直线上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②当点在下方时，
如图二，
在中，∵，，，
∴．
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
综上，点到直线的距离为．
【小问3详解】
解：如图三，取的中点，连接，则．
∴点在以为圆心，为半径的圆上．
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为．
∴点所经过的路径长为．
【小问4详解】
解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，
当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即点到直线的距离的最大值为.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.