2021年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．
【详解】解：，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式，其中，n为整数，一定要将题目中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．
【详解】51085.8万=510858000 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考察科学计数法的表示形式，科学记数法的表示形式，其中，n为整数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是解题关键．
3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】列表如下：
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
4. 已知，则（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，
即，且
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
6. 下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正方体的展开图． 故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
7. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
8. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
9. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
10. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．
【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴，
∴，
即，
，
设AB的解析式为：，代入A(a，a²)，
解得：，
∴，
∵，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
二、填空题：本大题7小题
11. 二元一次方程组的解为___．
【答案】
【解析】
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再将代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：，
即：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
13. 如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．
【详解】∵等腰直角三角形中，，
∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，
∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==，
故答案为：
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键．
14. 若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设与交点为，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键
15. 若且，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
16. 如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【详解】∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
17. 在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
,
线段长度的最小值为: ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题
18. 解不等式组
【答案】﹣1＜x≤2．
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
【详解】解：
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣1，
则不等式组解集为﹣1＜x≤2．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】（1）众数：90，中位数：90，平均数：90.5；（2）450人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数； （2）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90， 由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
众数：90，中位数：90，
平均数．
答：这20名学生成绩的众数90，中位数90，和平均数90.5；
（2）20名中有人为优秀，
∴优秀等级占比：
∴该年级优秀等级学生人数为：（人）
答：该年级优秀等级学生人数为450人．
【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，
∵为垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题
21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求m的值；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）4；（2）或
【解析】
【分析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；
（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．
【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，
∴代入得，
∴．
（2）令，即，
∴，，
令，∴，
∵．
由图象得，可分为以下两种情况，
①B在y轴正半轴时，，
∵，
过P作轴交x轴于点H，又，，
∴
∴， ,
即 ,
∴，
∴，
∴．
②B在y轴负半轴时，，过P作轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵ ，
∴，代入
∴，
综上，或．
【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．
22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【解析】
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，
配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．
23. 如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．
【详解】解：延长交于H连，
∵由沿折叠得到，
∴，，
∵E为中点，正方形边长为1，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题
24. 如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】(1)设，进而求得，再由即可求得；
(2)取中点O，过点O作，由梯形中位线定理得到，利用得到，进而，由此即可证明；
(3)过点D，点A分别向作垂线交于点M，N，得到，分别求出，再代入求解即可．
【详解】解：(1)∵，设，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
(2)如图，取中点O，过点O作，
∵CD∥AB，∠BCD=90°，
∴，
又∵，
∴OM∥AB，
∴M为中点，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴以为直径的圆与相切．
(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，
∴，
又∵
∴为等边三角形，，
∵CD∥EF，
∴，
由(2)得：，
∴，
∴，
∵，在中，三边之比为，
∴，
在中，三边之比为，
∴，
如图，过点D，点A分别向作垂线交于点M，N，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
同理，四边形BENA为矩形，
∴，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、圆的切线的证明方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键．
25. 已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【解析】
【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令，解得，
当时，，
∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，
∴，
∴，
即，
即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方
∴，
有两个相等的实数根
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）由（1）可知：，，设，
①当为对角线时，
∴，解得（舍），，
∴，即．
②当为对角线时，
∴，解得（舍），
∴，即．
③当为对角线时，
∴，解得，
∴或，
∴．
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．