2012年临沂市初中学生学业考试试题 数 学
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2012临沂）的倒数是（ ）
A．6 B．﹣ C． D．
考点：倒数。
解答：解：∵（﹣）×（﹣6）=1，
∴﹣的倒数是﹣6．
故选B．
2．（2012临沂）太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（ ）
A．696×103千米 B．696×104千米 C．696×105千米 D．696×106千米
考点：科学记数法—表示较大的数。
解答：解：696000=696×105；
故选C．
3．（2012临沂）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。
解答：解：A．2+2=2，所以A选项不正确；
B．（a+1）2=a2++1，所以B选项不正确；
C．（a2）5=a10，所以C选项不正确；
D．x7÷x5=x2，所以D选项正确．
故选D．
4．（2012临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
考点：平行线的性质；直角三角形的性质。
解答：解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．
故选B．
5．（2012临沂）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点：分式的混合运算。
解答：解：原式=•=．
故选A．
6．（2012临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D． 1
考点：概率公式；中心对称图形。
解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，
所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是=；
故选B．
7．（2012临沂）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
考点：解一元二次方程-配方法。
解答：解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
8．（2012临沂）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
解答：解：，
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
9．（2012临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．2 B． C．（18+2）cm2 D．（18+4）cm2
考点：由三视图判断几何体。
解答：解：根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，
底边边长为，侧棱长是，
所以侧面积是：（3×2）×3=6×3=2．
故选A．
10．（2012临沂）关于x、y的方程组的解是 则的值是（ ）
A．5 B． C．2 D．1
考点：二元一次方程组的解。
解答：解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．
故选D．
11．（2012临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
考点：等腰梯形的性质。
解答：解：A．∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
故本选项正确；
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
故本选项正确；
C．∵无法判定BC=BD，
∴∠BCD与∠BDC不一定相等，
故本选项错误；
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ACD．
故本选项正确．
故选C．
12．（2012临沂）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数和的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（ ）
A．∠POQ不可能等于90° B．
C．这两个函数的图象一定关于x轴对称 D．△POQ的面积是
考点：反比例函数综合题。
解答：解：A．∵P点坐标不知道，当PM=MO=MQ时，∠POQ=90°，故此选项错误；
B．根据图形可得：k1＞0，k2＜0，而PM，QM为线段一定为正值，故=||，故此选项错误；
C．根据k1，k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称，故此选项错误；
D．∵|k1|=PM•MO，|k2|=MQ•MO，△POQ的面积=MO•PQ=MO（PM+MQ）=MO•PM+MO•MQ，
∴△POQ的面积是（|k1|+|k2|），故此选项正确．
故选：D．
13．（2012临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．1 B． C． D．
考点：扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理。
解答：解：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵点E为BC的中点，∠AED=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．△EDC是等边三角形，边长是4．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故选C．
14．（2012临沂）如图，正方形ABCD的边长为，动点P、Q同时从点A出发，以/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
考点：动点问题的函数图象。
解答：解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为，
∴y=S△ABD﹣S△APQ
=×4×4﹣•t•t
=﹣t2+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD﹣S△CPQ
=×4×4﹣•（8﹣t）•（8﹣t）
=﹣（8﹣t）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15．（2012临沂）分解因式：= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
解答：解：原式=a（1﹣6b+9b2），
=a（1﹣3b）2．
故答案为：a（1﹣3b）2．
16．（2012临沂）计算：= ．
考点：二次根式的加减法。
解答：解：原式=4×﹣2=0．
故答案为：0．
17．（2012临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
考点：轴对称的性质；平行线的判定与性质。
解答：解：∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，
∵∠BDE=70°，
∴∠ABD==55°，
∵AD⊥DB，
∴∠BAD=90°﹣55°=35°，
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
故答案为：70．
18．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=，则AE= cm．
考点：全等三角形的判定与性质。
解答：解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=，EF=，
∴AE=5﹣2=．
故答案为：3．
19．（2012临沂）读一读：式子“1+2+3+4+···+表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算=__________．
考点：分式的加减法，寻找规律。
解答：解：由题意得，=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=1﹣=．
故答案为：．
三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，6+7+7=20分）
20．（2012临沂）“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级一班全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计图如图所示：
（1）求该班的总人数；
（2）将条形图补充完整，并写出捐款总额的众数；
（3）该班平均每人捐款多少元？
考点：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；众数。
解答：解：（1）=50（人）．
该班总人数为50人；
（2）捐款10元的人数：50﹣9﹣14﹣7﹣4=50﹣34=16，
图形补充如右图所示，众数是10；
（3）（5×9+10×16+15×14+20×7+25×4）=×655=131元，
因此，该班平均每人捐款131元．
21．（2012临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．
考点：分式方程的应用。
解答：解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件，
根据题意可得：×=，
解方程得x=27，
经检验，x=27是原方程的解，
答：手工每小时加工产品27件．
22．（2012临沂）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。
解答：（1）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF与点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴=，
即=，
∴CG=，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣=，
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．
四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，9+10=19分）
23．（2012临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。
解答：（1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切线，
（2）解：连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC•tan30°=3×=，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°，
∴∠P=∠PAD，
∴PD=AD=．
24．（2012临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．
（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；
（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；
（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？
考点：一次函数的应用。
解答：解：（1）由图象得：120千克，
（2）当0≤x≤12时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为y=kx，
∵点（12，120）在y=kx的图象，
∴k=10，
∴函数解析式为y=10x，
当12＜x≤20，设日销售量与上市时间的函数解析式为y=kx+b，
∵点（12，120），（20，0）在y=kx+b的图象上，
∴，
∴
∴函数解析式为y=﹣15x+300，
∴小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式为：y=；
（3）∵第10天和第12天在第5天和第15天之间，
∴当5＜x≤15时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为z=kx+b，
∵点（5，32），（15，12）在z=kx+b的图象上，
∴，
∴，
∴函数解析式为z=﹣2x+42，
当x=10时，y=10×10=100，z=﹣2×10+42=22，
销售金额为：100×22=2200（元），
当x=12时，y=120，z=﹣2×12+42=18，
销售金额为：120×18=2160（元），
∵2200＞2160，
∴第10天的销售金额多．
五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，11+13=24分）
25．（2012临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质。
解答：（1）证明：∵b=，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
（2）解：存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB=∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴=，
设AM=x，则=，
整理得：x2﹣bx+a2=0，
∵b＞，a＞0，b＞0，
∴△=b2﹣2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b＞时，存在∠BMC=90°，
（3）解：不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x2﹣bx+a2=0，
∵b＜，a＞0，b＞0，
∴△=b2﹣2＜0，
∴方程没有实数根，
∴当b＜时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．
26．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题；分类讨论。
解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则22+|y|2=42，
解得y=±2，
当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三点在同一直线上，
∴y=2不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，﹣2）
②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，
解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，
解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），