北京市平谷区2012年初中毕业考试
数 学 试 卷 2012年4月
学校 姓名 考场 考号
一 、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下表中相应的题号下面。
1. 的倒数是
A．3 B． C． D．
2．据报道，2012年1-2月份，我区地方财政收入为330 000 000元，将330 000 000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．如图所示，该几何体的俯视图是
4．一个三角形三边的长分别为3,4，x，则x的取值范围是
A. x >3. B. x > 4. C. 3 < x < 4 D. 1 < x < 7
5．某校初三（2）班6名女生的体重（单位：kg）为：
35 36 38 40 42 42则这组数据的中位数等于
A．38 B． C．40 D．42
6. 从1～9这九个自然数中任取一个数，是3的倍数的概率是
A． B． C． D．
7．已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为
A． B． C． D．或
8．在以下四个图形中，经过折叠能围成一个正方体的是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．+= 0，则＝ _____________.
10．分解因式：_____________.
11．如图，在⊙O中，，，
则劣弧的长为 cm．（不取近似值）
12. 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_______________________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 计算: .
解：
14. 解方程：
解：
15. 已知：如图，△ABC，D为BC的中点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD 于F．
求证：BE=CF．
证明：
16．化简求值：，其中．
解：
17. 在市区内，某市乘坐出租车的价格（元）与路程（km）的函数关系图象如图所示．
（1）请你根据图象求出乘客乘坐路程超过时，y与x的函数关系式；
（2）小明从学校出发乘坐出租车回家用了13元，求学校离小明家的路程．
解：（1）
（2）
18. 如图，在中，，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是、、边上的中点．
求证：四边形是菱形；
若cm，求菱形的周长．
（1）证明：
（2）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，分别交轴、轴于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出点C、D的坐标．
解：（1）
（2）
20. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D, DE⊥DB交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
(2) 如果BC=9， AC=12，,求⊙O的半径r.
(1)证明：
（2）
21. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）本次抽测的男生有________人，抽测成绩的众数是_________；
（2）请你将图2中的统计图补充完整；
（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？
解：（3）
22. 和点在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）将向右平移4个单位
得到，则点的坐标是 ( ），
点的坐标是 ( ) ；
（2）将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
五 、解答题（本题共22分，其中23，24小题7分，25小题8分）
23. 已知抛物线.
（1）求证：抛物线一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设（1）中的抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点．
①求点的坐标；
②过点作轴于点，若，求的值和直线的解析式.
解：（1）证明：
（2）
24．如下图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的对称轴及的值；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一动点，且在第三象限．当点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点的坐标.
解：（1）
（2）
（3）
25.两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，
∠A＝∠D ＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF＋EF=DE；
（2）若将图①中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出⑴中的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图③．你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
解：（1）证明：
（2）结论：AF＋EF=DE .(填成立还是不成立)
平谷区2012年初中毕业考试
数学试卷参考答案和评分参考 2012年4月
一 、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．5 ； 10． 11． 12. ，.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 计算: ；
解：原式 …………………………………………………………………4分
． ……………………………………………………………………………5分
14.解方程：．
解： 去分母， 得 ……………………………………………………2分
解得， …………………………………………………………3分
经检验，是原方程的解. ……………………………………………………4分
∴ 原方程的解是 …………………………………………............................5分
15. 证明：∵ D为BC的中点，
∴ BD=CD. ......................................1分
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠E＝∠CFD＝90°. ....................2分
∵ ∠BDE＝∠CDF，………………..3分
∴ △BDE≌△CDF. .............................4分
∴ BE=CF．..........................................5分
16．解：原式...................................2分
.....................................................................................................................3分
. ..................................................................................................................4分
∵ ，
∴ 原式 .......................................................................................................................5分
17.解：（1）设射线的表达式为．................1分
依题意，得
.......................................................... 2分
解得：．.............................................. 3分
∴ ．......................................................... 4分 5分
将代入上式，得．.................................................................................... 5分
答：小明家离学校．
18. 如图，在中，，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是、、边上的中点．
求证：四边形是菱形；
若cm，求菱形的周长．
（1）证法（一）
、、分别是、、边上的中点，
，. ............................1分
四边形是平行四边形．.................2分
又，，且，
.
四边形是菱形．..................................................................................................3分
证法（二）：
、、分别是、、边上的中点，
，. .......................................................................................1分
又，
. ........................................................................................2分
.
四边形是菱形．...............................................................................................3分
（2）cm，为的中点，
cm. ...........................................................................................................4分
菱形的周长为：（cm）．......................................................5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19． 解：（1）把，代入，得：．
反比例函数的解析式为．.................................1分
把，代入得．.....................2分
把，；，分别代入
得 ， 解得
一次函数的解析式为．..............................................................................3分
（2）点的坐标为，D点的坐标为. ....................................................5分
20. (1)证明：∵ DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴ BE是⊙O的直径,点O是BE的中点. ……………………1分
连结OD.
∵ ,
∴ .
∵ 为的平分线，
∴ .
∴ .
∴ OD ∥BC. ........................................................................2分
∵ ，
∴ .
∴ AC是⊙O的切线. ………………………………3分
（2） 在Rt△ABC中，
.
∵ OD∥BC ，
,∴ △ADO∽△ACB. .................................................................................................................. 4分
∴ .
∴ .
∴ . ……………......................5分
21.（1）50，5次．................................2分
（2） 画图..............................................3分
（3）（人）..5分
答：该校350名九年级男生约有252人体能
达标.
22. 解：（1） 2分
（2）图形略．（图形正确给满分） 5分
五、解答题（本题共22分，其中23,24小题各7分，25小题8分）
解：（1）证明：令.
∵ ，
∴ . ...........................................................................1分
∴抛物线一定与x轴有两个不同的交点..................................2分
（2）①令，得 ．
解得：．
∵ 点在点的左侧
点的坐标，点的坐标．............... 3分
②由，令，得．
．
又
∴ ．....................................................................................................................... 4分
设直线的解析式为，把点，点的坐标分别代入得：
解得
直线的解析式为：．.....................................................................................7分
24． 解：（1）抛物线的对称轴为：直线．
抛物线过点，则，
．...................................................................................................................2分
（2）如下图，根据两点之间线段最短可知，当点在线段上就可使
的值最小．又因为点要在对称轴上，所以点应为线段与对称轴直线
的交点．...............................................................................................................3分
由（1）可知，抛物线的表达式为：
．
令，则．
解得：．
则点的坐标分别是
、．...........4分
设直线的表达式为，则
解得
所以直线的表达式为． ..........................................................................5分
当时，.
所以，此时点的坐标为．..................................................................................6分
（3）依题意得：当点运动到抛物线的顶点时，的面积最大．
由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为．
点的坐标为．
的最大面积．..................................................................7分
25.解：⑴连结BF（如图①）. ........................................1分
∵ △ABC≌△DBE，
∴ BC=BE，AC=DE．
∵ ∠ACB=∠DEB=90°，
∴ ∠BACB=∠BEF=90°.
∵ BF=BF，
∴ Rt△BFC≌Rt△BFE．............................................2分
∴ CF=EF．
又∵ AF+CF=AC，
∴ AF+EF =DE ．..........................................................3分
⑵画出正确图形如图② ...........................................4分
⑴成立．.........................................................................5分
⑶不成立．
此时AF、EF与DE的关系为AF － EF =DE.
理由：连接BF（如图③）.
∵ △ABC≌△DBE，
∴ BC=BE，AC=DE，
∵ ∠ACB=∠E=90°，
∴ ∠ACB=∠E=90°．
又∵ BF=BF，
∴ Rt△BFC≌Rt△BFE．..............................................................................................6分
∴ CF=EF． ..................................................................................................................7分
又∵ AF－CF =AC，
∴ AF －EF = DE ．
∴ ⑴中的结论不成立． 正确的结论是AF－EF = DE . ........................................8分