2012年珠海市中考数学试卷解析
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1. 2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
解析：：∵2×=1，
∴2的倒数是．
故选C．
2. 计算﹣2a2+a2的结果为（ ）
A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2解析：﹣2a2+a2，
=﹣a2，
故选D．
3. 某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为．二月份白菜价格最稳定的市场是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解析：因为甲、乙、丙、丁四个市场的方差分别为，
乙的方差最小，
所以二月份白菜价格最稳定的市场是乙．
故选B．
4. 如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C ．60° D．90°
解析：设圆心角是n度，根据题意得
=，
解得：n=60．
故选C．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
5．计算﹣= ．
解析： ﹣，
=+（﹣），
=﹣（﹣），
=﹣．
故答案为：﹣．
6. 使有意义的x的取值范围是 ．
解析：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
7. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为 5 ．
解析：∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC，AB=OC； BA⊥OA，BC⊥OC．
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=3，AB=2．
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=1.5； EF=DG=1．
∴四边形DEFG的周长为 （1.5+1）×2=5．
故答案为 5．
8.不等式组的解集是 ．
解析：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE= ．
解析：如图：
∵AB为⊙0直径，AB=26，
∴OC=×26=13，
又∵CD⊥AB，
∴CE=CD=12，
在Rt△OCE中，OE===5，
∴sin∠OCE==．
故答案为．
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
10．计算：．
解：：﹣|﹣1|+（2012﹣π）0﹣（）﹣1，
=2﹣1+1﹣2，
=0．
11. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=[﹣]×
=×
=，
当x=时，
原式==．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
解：（1）如图所示：
．
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形．
13 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根．
解：（1）∵当m=3时，
△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，
∴原方程无实数根；
（2）当m=﹣3时，
原方程变为x2+2x﹣3=0，
∵（x﹣1）（x+3）=0，
∴x﹣1=0，x+3=0，
∴x1=1，x2=﹣3．
14. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣=30，
解得，x=4，
检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．
答：第一次每只铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，
解得，y≥6．
答：每支售价至少是6元．
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
15．如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）
解：设OC=x，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO=45°，
∴OA=OC=x，
在Rt△BOC中，
∵∠BCO=30°，
∴OB=OC•tan30°=x，
∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，
∴OC=5米．
答：C处到树干DO的距离CO为5米．
16. 某学校课程安排中，各班每天下午只安排三节课．
（1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学课安排在最后一节的概率；
（2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数学、语文、地理课各一节，此时两班这六节课的每一种课表排法出现的概率是．已知这两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任．求这两个班数学课不相冲突的概率（直接写结果）．
解：（1）如图，共有6种情况，
数学科安排在最后一节的概率是=；
（2）如图，两个班级的课程安排，（1）班的没有一种安排可以与（2）班的所有安排情况相对应，
所有共有6×6=36种情况，
每一种组合都有6种情况，其中有2种情况数学课冲突，其余4种情况不冲突，
所有，不冲突的情况有4×6=24，
数学课不相冲突的概率为：=．
17. 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
解：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；
（2）∵AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中，
∴△AEB′≌△A′ED，
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
18．如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
解：
（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，
（1﹣2）2+m=0，
1+m=0，
m=﹣1，则二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．
当x=0时，y=4﹣1=3，
故C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），
令y=3，有（x﹣2）2﹣1=3，
解得x=4或x=0．
则B点坐标为（4，3）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，
，
解得，则一次函数解析式为y=x﹣1；
（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），
∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．
19. 19．（2012•珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]
=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）
=11（10a+b）（10b+a）
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）
=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
20. 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；
（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；
（3）∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BC为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，
∴PD=AB，即AB=4PD．
21. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB= ；AC= ；
（2）若S2=3S1，求x；
（3）设S2=mS1，求m的变化范围．
解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，
∴BK=CD=，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3+=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴BK=EK=AK=2=CE，
∵CE是高，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK•cos45°=4×=4；
故答案为：90°，4；
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．
①当0＜x＜时，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，
∴=4，
∴S2=4S1≠3S1；
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3，
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，
∴S△BCD=×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S△CRQ=2×（）2=8（2﹣x）2，
∵S梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S△ABD=AB•CE=×3×2=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴，
∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2，
∵S2=3S1，
∴8﹣8（2﹣x）2=3×x2，
解得：x1=＜（舍去），x2=2，
∴x的值为2；
（3）由（2）得：
当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，
∵S2=mS1，
∴m===﹣+﹣12=﹣36（﹣）2+4，
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3，
∴m的变化范围为：3≤m≤4．