北京市西城区2012年初三二模试卷
数 学 2012. 6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的倒数是
A.8 B. C. D.
2．在至举办的2012（第十二届）北京国际汽车展览会上，约有800 000名观众到场参观，盛况空前．800 000用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
3．若⊙与⊙内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距的结论正确的是
A.=5 B.=.＞11 D. 5＜＜11
4．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，
若，AE=6，则EC的长为
A . 8 B. . 12 D. 16
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩波动最小的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，， 则AB的长是
A . 20 B. . 12 D. 8
7．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为
A . 4 B. . 8 D. 10
8．如图，在矩形ABCD中，，BC=1. 现将矩形ABCD
绕点C顺时针旋转90°得到矩形，则AD边扫过的
面积(阴影部分)为
A . π B. π C.π D. π
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 将代数式化为的形式（其中m，n为常数），结果为 ．
10．若菱形ABCD的周长为8，∠BAD=60°，则BD= ．
11．如图，把一个半径为的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…
都在y轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线，
，，…分别经过点，，，…，且都平行于x
轴．以点O为圆心，半径为2的圆与直线在第一象限
交于点，以点O为圆心，半径为3的圆与直线在第
一象限交于点，…，依此规律得到一系列点（n为
正整数），则点的坐标为 ，点的坐标为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．已知，求代数式的值．
15．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次
为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D.
(1)求证：BC=DE；
(2)若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB 的度数．
16．已知关于x的一元二次方程 (m +1)x2 + 2mx + m 3 = 0 有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根.
17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是
AB，CD的中点.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长.
18. 吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下两个统计图：（图中信息不完整）
请根据以上信息回答下面问题：
(1) 同学们一共随机调查了 人；
(2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是 ；
(3) 如果该社区有5 000人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有 人．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿 A小区的北偏东60方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．
(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区
铺设的管道最短？
(2)求∠AMC的度数和AN的长.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与
轴，轴分别交于点A，点B，点D在轴的负半轴
上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在轴正
半轴上的点C处.
(1)求AB的长和点C的坐标；
(2)求直线CD的解析式．
21．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若OC=CP，AB=，求CD的长.
22. 阅读下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，
.
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等；
(2)如图3，已知△ABC，画出两个Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；
(3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.
图2 图3 图4
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线（）上一点，点A
的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（）
交于点C . x轴上一点位于直线AC右侧，AD的中点为E.
(1)当m=4时，求△ACD的面积（用含，的代数
式表示）；
(2)若点E恰好在双曲线（）上，求m的值；
(3)设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当
点D的坐标为时，若△BDF的面积为1，
且CF∥AD，求的值，并直接写出线段CF的长.
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB
－BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l
从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中
保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的
时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
(1)当t = 5秒时，点P走过的路径长为 ；当t = 秒时，点P与点E重合；
(2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
(3)当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线，点为轴上的一个动点，过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A，点B.
⑴直接写出A，B两点的坐标（用含的代数式表示）；
⑵设线段AB的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
(3)已知二次函数（，，为整数且），对一切实数恒有
≤≤，求，，的值.
北京市西城区2012年初三二模试卷
数学答案及评分标准 2012. 6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式=…………………………………………………………4分
=．…………………………………………………………………… 5分
14．解：原式=
=
=．………………………..….….….….….…………………… 3分
∵ ，
∴ . ………………………………………………………………… 4分
∴ 原式=. ….……………………………………………………5分
15.(1)证明：如图1.
∵ ∠BAF=∠CAE，
∴ .
∴ . ………………… 1分
在△ABC和△ADE中,
∴ △ABC≌△ADE. ……………………………………………………… 3分
∴ BC=DE. ………………………………………………………………… 4分
(2)∠DGB的度数为．……………………………………………………………… 5分
解：(1)∵关于x的一元二次方程(m +1)x2 + 2mx + m 3 = 0 有两个不相等的实数根，
∴ 且．
∵ ，
∴ ． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
解得 m>． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
∴ m的取值范围是 m>且m 1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分
(2)在m>且m 1的范围内，最小奇数m为1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
此时，方程化为．
∵ ，
∴ ．
∴ 方程的根为 ， ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
17. (1)证明：如图2.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD且AB=CD. ﹍﹍﹍﹍1分
∵ 点E，F分别是AB，CD的中点，
∴ .
∴ AE=DF. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分
∴ 四边形AEFD是平行四边形. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
(2)解：过点D作DG⊥AB于点G.
∵ AB=2AD=4，
∴ AD=2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
在Rt△AGD中，∵ AD=2，
∴
∴ .
在Rt△DGB中，∵
∴ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
18．解：(1)300； ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2)；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
(3)1750 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短.（如图3）﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分
(2) ∵ MAC=6030=30，ACM=30+30=60，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
∴ AMC=1803060=90. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分
在Rt△AMC中，∵AMC=90，MAC=30，AC=2000，
∴ (米). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
在Rt△AMN中，∵ ANM=90，cos30=，
∴ AN=AMcos30=1000=1500(米).
………………………………………… 5分
答：∠AMC等于90，AN的长为.
20. 解：(1)根据题意得，.(如图4)
在Rt△OAB中，AOB=90，OA=6，OB=8，
∴ .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分
∵ △DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，
∴ AC=AB=10.
∴ .
∵ 点C在轴的正半轴上，
∴ 点C的坐标为.﹍﹍﹍﹍﹍ 2分
(2)设点D的坐标为.（y<0）
由题意可知CD=BD，.
由勾股定理得.
解得.
∴ 点D的坐标为.﹍﹍﹍﹍﹍3分
可设直线CD的解析式为 .（k 0）
∵ 点在直线上，
∴ . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
解得.
∴ 直线CD的解析式为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
21.(1)证明：连结AO，AC.(如图5)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ .﹍﹍﹍﹍﹍1分
∵ E是CD的中点，
∴ .
∴ .
∵ OA=OC，
∴ .
∵ CD是⊙O的切线，
∴ CD⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
∴ .
∴ .
∴ OA⊥AP.
∵ A是⊙O上一点，
∴ AP是⊙O的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
(2) 解：由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴ sinP.
∴ . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
∴ .
∵ OC=OA，
∴ .
在Rt△BAC中，∵，AB=3，，
∴ .
又∵ 在Rt△ACD中，，，
∴ . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
22.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC，△D2BC，△D3BC，△D4BC，△D5BC中的一个即可.（将BC的平行线l画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分
(2) 如图所示，答案不唯一. （在直线D1D2上取其他
符合要求的点，或将BC的平行线画在直线BC
下方对称位置所画出的三角形亦可)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
(3) 如图所示(答案不唯一).
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
如上图所示的四边形ABDE的画法说明：(1)在线段BC上任取一点D（D不为BC的中点），连结AD；(2)画出线段AD的垂直平分线MN；(3)画出点C关于直线MN的对称点E，连结DE，AE. 则四边形ABDE即为所求.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为，．（如图6）
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
∵ ，，
∴ 点A在第一象限，点C在第四象限，．
当m=4时，．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) 作EG⊥x轴于点G．（如图7）
∵ EG∥AB，AD的中点为E，
∴ △DEG∽△DAB，，G为BD的中点．
∵ A，B，D三点的坐标分别为，，，
∴ ，，．
∴ 点E的坐标为．
∵ 点E恰好在双曲线上，
∴ ．①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
∵ ，
∴ 方程①可化为，解得．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
(3)当点D的坐标为时，由(2)可知点E的坐标为．（如图8）
∵ ，
∴ ．
∴ ． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
设直线BE的解析式为（a≠0）．
∵ 点B，点E的坐标分别为，，
∴
解得 ，．
∴ 直线BE的解析式为．
∵ 线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，，
∴ 点F的坐标为，．
∴ ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分
线段CF的长为．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分
24．解:(1) 当t =5秒时，点P走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P与点E重合．
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) 如图9，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E旋转的旋转角，记为α．
设AP=3t （0< t <2），则CP=，．
∵ EF∥AC，∠C=90°，
∴ ∠BEF=90°，∠CPE =∠PEF=α．
∵ EN⊥AB，
∴ ∠B=∠MEN=α．
∴ ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
∵ ，，
∴ ．
∴ ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
解得．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
(3) t的值为（秒）或（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分
25．解：(1)，. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) =AB==.
∴ ==.﹍﹍3分
∴ 当时，取得最小值. ﹍﹍ 4分
当取最小值时，线段OB与线段PM的位置
关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图10)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
(3) ∵ 对一切实数恒有 ≤≤，
∴ 对一切实数，≤≤都成立. () ①
当时，①式化为 0≤≤.
∴ 整数的值为0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分
此时，对一切实数，≤≤都成立.()
即 对一切实数均成立.
由②得 ≥0 () 对一切实数均成立.
∴
由⑤得整数的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
此时由③式得，≤对一切实数均成立. ()
即≥0对一切实数均成立. ()
当a=2时，此不等式化为≥0，不满足对一切实数均成立.
当a≠2时，∵ ≥0对一切实数均成立，()
∴
∴ 由④，⑥，⑦得 0 <≤1.
∴ 整数的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分
∴ 整数，，的值分别为，，.