北京市西城区2012年初三一模试卷
数 学 2012. 5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是
A．6 B． C． D．
2．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为
A．2.58×103 B．25.8×．2.58×105 D．258×103
3．正五边形各内角的度数为
A．72° B．108° C．120° D．144°
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是
A． B． C． D．
5．如图，过上一点作的切线，交直径的
延长线于点D. 若∠D=40°，则∠A的度数为
A．20° B．25°
C．30° D．40°
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的
体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图
所示的折线统计图，下列说法中错误的是
A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
7．由个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则的最大值是
A．16
B．18
C．19
D．20
8．对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，}=.若关于x的函数y = min{，}的图象关于直线对称，则a、t的值可能是
A．3，6 B．2，
C．2，6 D．，6
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．分解因式：= ．
11．如图，正方形ABCD的面积为3，点E是DC边上一点，DE=1，
将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上，落点记为F，
则FC的长为 .
12．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．
折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别
为D、E. (1) DE的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线
AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.
15．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，D为AB延长线
上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.
(1) 求证：△ABE≌△CBD；
(2) 若∠CAE=30º，求∠BCD的度数.
16．已知，其中a不为0，求的值.
17. 平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点，过点A作
AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.
(1) 求m和k的值；
(2) 若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直接写出点C的坐标.
18. 列方程（组）解应用题：
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A、B两组捐款户数的比为1 : 5.
请结合以上信息解答下列问题.
(1) a= ，本次调查样本的容量是 ；
(2) 先求出C组的户数，再补全“捐款户数分组统计图；
(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？
20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，BC=2，
，．
(1) 求∠BDC的度数；
(2) 求AB的长．
21．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC
两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．
(1) 求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
(2) 若DE=2BE，求的值和CD的长．
22. 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1) 图2中∠BPC的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ．
图1 图2 图3
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知关于x的一元二次方程的一个实数根为 2．
(1) 用含p的代数式表示q；
(2) 求证：抛物线与x轴有两个交点；
(3) 设抛物线的顶点为M，与 y轴的交点为E，抛物线
顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．
图1 图2
25．平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．
北京市西城区2012年初三一模试卷
数学答案及评分标准 2012. 5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式= …………………………………………………………4分
=．…………………………………………………………………… 5分
14．解：
由①得．……………………………………………………………………1分
由②得x≤． ……………………………………………………………………3分
∴ 原不等式组的解集是-2< x≤．………………………………………………4分
∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分
15.（1）证明：如图1.
∵ ∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，
∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分
在△ABE和△CBD中,
∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分
（2）解：∵ AB=CB，∠ABC=90º，
∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分
又∵ ∠CAE=30º，
∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分
∵ △ABE≌△CBD，
∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分
16. 解：原式= =. ..….….….….….……………………3分
∵ +b=0，
∴ . ……………………………………………………………………… 4分
∴ 原式=.
∵ a不为0，
∴ 原式=. ..….….….….……………………………………………………… 5分
17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点，
∴ ，且m＞0.
∵ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，
∴ .
解得 . ……………………………………………………………… 1分
∴ 点A的坐标为. ………………………………………………… 2分
∴ . …………………………………………………………… 3分
（2）点C的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分
18．解：设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天能加工1.5件新产品.
依题意得 . ……………………………………………………2分
解得. …………………………………………………………………… 3分
经检验，是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分
∴ .
答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）2，50；…………………………………2分
（2），C组的户数为20. … 3分
补图见图2． …………………………4分
（3）∵ ，
∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少
于300元的户数是180．[来源:学科网]
……………………………… 5分
20．解：（1）∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，，，
∴ ，．
在Rt△ABD中，∵，，
∴ ．
∴ ．…… 2分
（2）作于点E，于点F．（如图3）
在Rt△BCE中，∵ BC=2，，
∴ ，．
∵ ，
∴ ．
∴ ． …………………………………………… 3分
∵ ，
∴ ． …………………………… 4分
∵ AD∥BC，，，
∴ ． …………………………………………………… 5分
21．解：（1）作于点F，连结OD．（如图4）
∵ ∠BAD=60°，
∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分
又∵OB=OD，
∴ ．……………………… 2分
∵ AC为⊙O的直径，AC=4，
∴ OB= OD= 2．
在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°， OB=2，，
∴ ，
即点O到BD的距离等于1. ………………………………………… 3分
（2）∵ OB= OD ，于点F，
∴ BF=DF．
由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．
∵ ，
∴ ， EF=．
在Rt△OEF中，，
∵ ，
∴ ，． …………………………………… 4分
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ． ………………………………………………… 5分
22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分
（2）120°；………………………………………………………………………… 3分
． ……………………………………………………………………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵ 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2，
∴ ．…………………………………………………… 1分
整理，得 ． …………………………………………………… 2分
（2）∵ ，
无论p取任何实数，都有≥0，
∴ 无论p取任何实数，都有 ．
∴ ． ………………………………………………………………… 3分
∴ 抛物线与x轴有两个交点．………………………… 4分
（3）∵ 抛物线与抛物线
的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，
抛物线可由抛物线
沿y轴方向向上平移一个单位得到，
（如图5所示，省略了x轴、y轴）
∴ EF∥MN，EF=MN=1．
∴ 四边形FEMN是平行四边形． ………………5分
由题意得 ．
解得．………………………………………7分
24．证明：（1）如图6．
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，
CH⊥AB于点H，
直线DE交直线CH于点F，
∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分
∴ ∠1=∠2．
又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴ ∠A＝∠2．
∴ BF∥AC．……………………………………………………………… 2分
（2）取FD的中点N，连结HM、HN.
∵ H是BD的中点，N是FD的中点，
∴ HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴ HN∥AC，即HN∥EM．
∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AC边的中点为M，
∴ ．
∴ ∠A＝∠3．
∴ ∠EDA=∠3．
∴ NE∥HM．
∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………………………………… 3分
∴ HN=EM．
∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，
∴ ，即．
∴ ． ………………………………………………………… 4分
（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）
证明：连结CD．（如图8）
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，
∴ BC=CD，∠ABC＝∠5．
∵ AB＝BC，
∴ ，
AB＝CD．①
∵ ∠EDA=∠A，
∴ ，AE=DE．②
∴ ∠ABC＝∠6=∠5．
∵ ∠BDE是△ADE的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分
∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分
由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．
∴ ∠CFE=∠ECF．
∴ EF=CE．
∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分
∴ BE=EF=CE．
（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）
25．解：（1）∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴ 点B的坐标为，OB＝3．…………… 1分
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分
∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）…………………… 3分
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵ 、都是弧AB所对的圆周角，
∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．
∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．…………………………………………… 5分
由对称性得点的坐标为． ……………………………… 6分
∴符合题意的点P的坐标为、.
（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，
可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．[来源:学科网]
∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）
若设与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．
∵ ，
∴
作⊥x轴于点N．
∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，
∴ ，．
∴ 点的坐标为．
∵ 点Q在线段BD上，
∴ 设点Q的坐标为，其中．
∵ ，
∴ 由勾股定理得 ．
解得．
经检验，在的范围内．
∴ 点Q的坐标为． …………………………………………… 7分
此时．… 8分