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黄石市2012年初中毕业生学业考试
数学试题卷
姓名： 准考证号：
注意事项：
1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分.
2.考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题.
3.所有答案均须做在答题卡中相应区域，做在其它区域无效.
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卡中相应的格子涂黑，注意可用多种不同的方法来选取正确答案.
1.－的倒数是
A. B.－3 D.－
2.某星球的体积约为3，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为6.64×10nkm3，则n＝
A.4 B.6 D.7
3.已知反比例函数y＝（b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第几象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
4.2012年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
请问这组数据的平均数是
A.24 B.26 D.27
5.如图（1）所示，该几何体的主视图应为
6.如图（2）所示，扇形AOB的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
7.有一根长的金属棒，欲将其截成x根长的小段和y根长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为
A.x＝1，y＝3 B.x＝3，y＝.x＝4，y＝1 D.x＝2，y＝3
8.如图（3）所示，矩形纸片ABCD中，AB＝，BC＝，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为
A.cm B.cm C.cm D
9.如图（4）所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切与点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为
A.15︒ B.30︒ C.60︒ D.90︒
10.如图（5）所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是
A.（，0） B.（1,0） C.（，0） D.（，0）
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式：x2＋x－2＝ .
12.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是 .
13.某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图（6）所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为 .
14.将下列正确的命题的序号填在横线上 .
①若n为大于2的的正整数，则n边形的所有外角之和为（n－2）•180︒.
②三角形三条中线的交点就是三角形的重心.
③证明两三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，SSA及HL等.
15.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100 ①
S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 ②
①＋②：有2S＝（1＋100）×100 解得：S＝5050
请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝168，则n＝ .
16.如图（7）所示，已知A点从（1,0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60︒，又以P（0,4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ .
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来.
17.（本小题满分7分）计算：（）0＋4sin60︒－|2－2|.
18.（本小题满分7分）先化简，后计算：，其中a＝－3.
19.（本小题满分7分）如图（8）所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：∠DAE＝∠BCF.
20.（本小题满分8分）解方程组：
21.（本小题满分8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1,3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b.
⑴请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
⑵现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释.
22.（本小题满分8分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为1，且在水平线上的的射影AF为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2，并已知tan1＝1.082，tan2＝0.412.如果安装工人已确定支架AB高为，求支架CD的高（结果精确到）？
23.（本小题满分8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）.
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
⑴请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式.
⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法.
24.（本小题满分9分）如图（10）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
⑴请你探究：，是否都成立？
⑵请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.
⑶如图（11）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F.试求的值.
25.（本小题满分10分）已知抛物线C1的函数解析式为y＝ax2＋bx－（b＜0），若抛物线C1经过点（0，－3），方程ax2＋bx－＝0的两根为x1，x2，且|x1－x2|＝4.
⑴求抛物线C1的顶点坐标.
⑵已知实数x＞0，请证明x＋≥2，并说明x为何值时才会有x＋＝2.
⑶若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90︒，m＞0，n＜0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式.
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）
黄石市2012年初中毕业生学业考试
数学试题答案及评分标准
选择题：（本题有10个小题，每小题3分 ，共30分）
1～5：CCBCC, 6～10：ABBBD
填空题：（本小题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．(x－1)(x+2); 12．a<4； 13．75%；
14．②； 15．12； 16．
解答题：（本题有9个小题，共72分）
17.（7分）解：原式= ……………………………………4分
=3 ………………………………………………………………3分
18.（7分）解：原式= …………………………2分
= …………………………………………………………3分
当时，原式= ……………………………………2分
19.（7分）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC,且AD=BC
∴∠ADE=∠BCF ……………………………………………………2分
又∵BE=DF, ∴BF=DE ………………………………………………1分
∴△ADE≌△CBF ……………………………………………………2分
∴∠DAE=∠BCF ……………………………………………………2分
20.（8分）解：依题意：
将①代入②中化简得：x2＋2x－3=0 ……………………………………3分
解得：x=－3或x=1 ……………………………………2分
所以，原方程的解为： 或 ………………………3分
21.（8分）解：（1）（a,b）的可能结果有（，1）、（，2）、（，3）、（）、（）、（）、（1，1）、（1，2）及（1，3）
∴(a,b)取值结果共有9种 ………………………………………………4分
（2）∵Δ=b2－与对应（1）中的结果为：
－1、2、7、0、3、8、－3、0、5 ……………………………………2分
∴P(甲获胜)= P(Δ＞0)= ＞P(乙获胜) ＝ ……………………………1分
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平. ……………………………………1分
22.（8分）解：如图所示，过A作AE∥BC,则∠EAF=∠CBG=θ2，
且EC=AB= ………………………2分
Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1 ………1分
Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2 ……1分
∴DE=DF－EF=AF(tanθ1－tanθ2)
又∵AF=, tanθ1=1.082, tanθ2=0.412
∴DE=140×(1.082－0.412)=93.8 …………………………………2分
∴DC=DE+EC=93.8+25=≈ ………………………………1分
答：支架DC的高应为. ………………………………1分
23.（8分）解：
（1）1o当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：
3000－（8－x）×20=20x＋2840 (元／平方米)
2O当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680(元／平方米)
∴, x为正整数 ………………………２分
（2）由（1）知：
1o当2≤x≤8时，小张首付款为
（20x＋2840）·120·30%
=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元
∴2～8层可任选 …………………………１分
2o当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋2680）元
36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤
∵x为正整数，∴9≤x≤16 …………………………１分
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。 ……１分
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y1=(40·16＋2680) ·120·92%－（元）
若按老王的想法则要交房款为：y2=(40·16＋2680) ·120·91%（元）
∵y1－y2=3984－ …………………………１分
当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4,此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确。 ……２分
24.（9分）解：
（1）易验证,
这两个等式都成立； ………………………………………………………2分
(2)可以判断结论仍然成立，证明如下： ………………………………1分
如右图所示ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交
AD的延长线于E点
∵∠E=∠CAD=∠BAD
∴BE=AB
又∵ΔEBD∽ΔACD ……………………………1分
∴又∵BE=AB
∴即对任意三角形结论仍然成立. …………………………1分
﹙3﹚如图（11）所示，连结ED
∵AD为ΔABC的内角角平分线
∴ ………………１分
而 ………………………１分
∴ , ∴DE∥AC
∴ΔDEF∽ΔACF ……………………………１分
∴ …………………………１分
25.（10分）解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－＝－３
∴a＝１ ……………………………………１分
∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４
∴＝４且b＜０
∴b＝－２ ……………………１分
∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） ………………………１分
（2）∵x＞０，∴
∴显然当x＝１时，才有 ………………………２分
（3）由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2 ………………………１分
∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）
∵ΔAOB为RtΔ
∴OA２+OB２=AB２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２
化简得：m n＝－１ ……………………１分
∵ＳΔAOB==
∵m n＝－１
∴ＳΔAOB=
＝
∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１) ……………………２分
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x ……………………１分