昌平区2011—2012学年第二学期初三年级第一次统一练习
数 学 2012．5
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是
A． B． C． D．
2．方程组的解是
A． B． C． D．
3．2012年伦敦奥运会体育场位于伦敦东部的斯特拉特福，因外形上阔下窄，又被称为“伦敦碗”，预计可容纳8万人，分为两层，上层是55000个临时座位．将55000用科学记数法表示为
A． 55×103 B． 0．55×． 5．5×104 D． 5．5×103
4．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠B=32°，则∠D的度数为
A．32° B．68° C．74° D．84°
5．一名警察在高速公路上随机观察了6辆汽车的车速，记录如下：
则这6辆车车速的众数和中位数是
A．84，90 B．85， C．82，86 D．82，83
6．三张卡片上分别画有等腰直角三角形、等边三角形和菱形，从这三张卡片中随机抽取一张，则取到的卡片上的图形是中心对称图形的概率是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．1
7． 若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是
A．a＜2且a≠0 Ｂ．a＞2 Ｃ．a＜2且a≠1 Ｄ．a＜－2
８．如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（与点A、B不重合），设AE=,DE的延长线交CB的延长线于点F，设BF=，则下列图象能正确反映与的函数关系的是
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
10．分解因式： ．
11．符号表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算：= ．
12．己知□ABCD中，AD=6，点E在直线AD上，且DE＝3，连结BE与对角线AC相交于点M，则= ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．计算：．
14．解不等式组：
15．计算：．
16．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连结CD、BE．求证：CD=BE．
17．已知，求代数式的值．
18．如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝10，cosB＝，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，连结DF，求DF的长．
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
19．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D．
求证：CD是⊙O的切线；
若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径．
20．某周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会
实践活动．在基地活动2．2小时后，因家里有急事，他立即按原路以
/时的平均速度步行返回，同时爸爸开车从家出发沿同一路线接
他，在离家处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按
原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小明离家的路程y (千米)
与x (小时)之间的函数图象如图所示．
(1)小明去基地乘车的平均速度是 千米/时，爸爸开车的平均速度是 千米/时；
(2)求线段CD所表示的函数关系式，不用写出自变量x的取值范围；
(3)问小明能否在中午12：00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出中午12：00时他离家的路程．
21．为了更好地利用“大课间”加强学生的体育锻炼，调动学生运动的积极性，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，得到一组数据，绘制如下的统计图表：
各年级学生人数统计表:
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查?
（2）请分别在图1和图2中将“抖空竹”部分的图形补充完整；
（3）已知该校九年级学生比八年级学生多20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全校学生中最喜欢踢毽子运动的人数约为多少？
22． 问题探究：
（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．
五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）
23．已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．
24． 如图，已知抛物线与轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S△PDE =S四边形ABMC．
25． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．