北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二）
数 学 试 卷 2013.6
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 3的相反数是
A． B．3 C． D．
2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为
A．696× B．6.96× C．6.96× D．0.696×
3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是
A B C D
4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AC=3，那么AB的长为
A. B. C. D.
5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为
A． B． C． D．
6. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是
A．5 B． C．7 D．8
7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是
A．1.65，1.70 B．1.70， C．1.70，1.65 D．3，4
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙的半径为1，动直线AB与x轴交于点，直线AB与x轴正方向夹角为，若直线AB与⊙有公共点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 在函数中，自变量的取值范围是 ．
10. 分解因式： ．
11. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方
形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三
角形的周长之和为 .
12. 如图，∠ACD是△的外角，的平分线
与的平分线交于点，的平分线与
的平分线交于点，…，的平分
线与的平分线交于点. 设,
则＝ ；＝ .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 计算：．
14. 解分式方程：．
15. 已知：如图，点E，F分别为□ABCD 的边
BC，AD上的点，且.
求证：AE=CF.
16. 已知，求的值.
17. 列方程或方程组解应用题：
我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为
13 ，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
18. 如图，一次函数的图象与轴交于点A，
与轴交于点B，与反比例函数图象的一个
交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上一点，
且，求点P的坐标．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.
请解答以下问题：
（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？
20． 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E.
(1）求证：AM=；
（2）若，，求的值.
21．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）求PD的长．
22. 阅读并回答问题：
数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：
小聪的作法正确吗？请说明理由；
（2） 请你帮小颖设计用刻度尺作平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.
五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知：关于的一元二次方程（m为实数）.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）求证：抛物线总过轴上的一个定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
24. 在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.
（1）如图1，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段的长.
25．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .
16. 解:
， .
………………………………………5分
17. 解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3．
根据题意得： ……………………………………………2分
解得： ……………………………………………4分
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 ，11 ．………………………5分
18．解: (1) ∵M（﹣2，m）在一次函数的图象上，
∴ .
∴ M（﹣2，1）.
又M（﹣2，1）在反比例函数图象上，
∴.
∴. ……........................3分
(2)由一次函数可求，.
∴.
∴.
设边上的高位，则. 则点的横坐标为.
把点的横坐标为代入可得点的纵坐标为.
或. ……5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3分
（2）68％；……4分
（3）120户. ……5分
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形．
∴BC//AD.
∴.
∴.
∵F为边BC的中点，
∴.
∴.
∴. ……………………2分
（2）∵AB//DC，
∴ .
∵,
∴ .
∵ME⊥CD，
∴.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
∵F为边BC的中点，
∴.
.
在△CMF和△CME中，
，CF=CE，CM为公共边，
∴△CMF≌△CME．
∴ .
∵,
∴.
∴.
∵,∴.
∴. ……………………………5分
21．解：（1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．
又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．
∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．
∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．
∴ AP是⊙O的切线． …………………2分
（2）解：连接AD．
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．
∴AD=AC•tan30°=．
∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD．
∴PD=AD=． …………………5分
22．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分
理由：∵PM⊥OM , PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP=OP ,OM=ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.
∴.
∴OP平分∠AOB. …………………2分
（2）解：如图所示. …………………3分
作法：①利用刻度尺在OA，OB上分别截取OG=OH.
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q.
③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线. …5分
五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.……………………………………………………………………………1分
∵，
∴m的取值范围是.………………………………………………………2分
（2）证明：令得，.
∴.
∴，. …………………………………4分
∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.
∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.……5分
（3）∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴.…………………………………………………………………………6分
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
.…………………………………………………7分
24．解：（1）∵，
∴.
∵，
∴.
∵，∴.
∵，∴.…………………2分
（2）过点作，垂足为点.
∴.∵∥，∴，.
∵，∴.∴.
∴.
∵，，，
∴.…………………4分
（3）∵矩形ABCD，
∴.∴.
∵ ，∴.
∴.∴.
当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，
ⅰ）若，
∵，，∴
.∴.
∴，∴.∴.∴.
ⅱ)若，如图所示，记与交于点.
∵，∴.
∴.
∵，， ∴.
∵∥，∴.∴.
∴. ∴.
设，则，
∴. ∴.
∴，. ∴.
综上所述，线段的长为或1. ………………7分
25.解：（1）2，； ………………4分
（2）当时，；
当时，. ………………6分
（3）. ………………8分