第二部分 空间与图形
第四章 三角形与四边形
第1讲 线、角、相交线和平行线
一级训练
1．(2011年安徽芜湖)一个角的补角是36°35′，这个角是________．
2．如图4－1－12，已知线段AB＝，AD＝，D为线段AC的中点，那么线段CB＝________cm.
图4－1－12
3．(2012年湖南株洲)如图4－1－13，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，且∠1＝120°，则∠2＝( )
图4－1－13
A．60° B．120° C．30° D．150°
4．(2011年四川南充)如图4－1－14，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是( )
图4－1－14
A．∠C＝60° B．∠DAB＝60° C．∠EAC＝60° D．∠BAC＝60°
5．下列命题中，正确的是( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
6．(2012年湖北孝感)已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠r互余，则∠β－∠r的值等于( )
A．45° B．60° C．90° D．180°
7．(2011年浙江丽水)如图4－1－15，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
图4－1－15
8．如图4－1－16，下列条件中，不能判断l1∥l2的是( )
图4－1－16
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
9．(2011年湖北孝感)如图4－1－17，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C.若∠ECO＝30°，则∠DOT＝( )
图4－1－17
A．30° B．45° C. 60° D. 120°
10．(2012年湖南怀化)如图4－1－18，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，若∠C＝110°，则∠EAB＝( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
图4－1－18
11．下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路变直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解决的现象有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
12．如图4－1－19，一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为( )
图4－1－19
A．45° B．60° C．75° D．80°
二级训练
13．(2012年四川广元)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度( )
A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50°
C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40°
14．如图4－1－20，在△ABC中，∠C＝90°.若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是( )
A．40° B．60° C．70° D．80°
图4－1－20
15．如图4－1－21，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′＝( )
图4－1－21
A．70° B．65° C．50° D．25°
16．观察下图4－1－22，寻找对顶角(不含平角)：
(1) (2) (3)
图4－1－22
(1)如图4－1－22(1)，图中共有______对对顶角；
(2)如图4－1－22(2)，图中共有______对对顶角；
(3)如图4－1－22(3)，图中共有______对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成______对对顶角；
(5)若有2 008条直线相交于一点，则可形成______对对顶角．
三级训练
17．如图4－1－23，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
图4－1－23
(1)求∠MON的度数；
(2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；
(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你能看出什么规律？
第2讲 三角形
第1课时 三角形
一级训练
1．已知在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C＝( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．如图4－2－14，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD＝( )
A．100° B．120° C．130° D．150°
图4－2－14
3．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是( )
图4－2－15
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．(2011年湖南怀化)如图4－2－16，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
图4－2－16
A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠1
5．(2011年江西)如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
图4－2－17
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
6．(2011年上海)下列命题中，是真命题的是( )
A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等
7．(2012年山东德州)不一定在三角形内部的线段是( )
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的中位线
8．(2012年山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4－2－18，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
图4－2－18
9．(2011年安徽芜湖)如图4－2－19，已知在△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )
图4－2－19
A．2 B． C．3 D．4
10．以三条线段3,4，x－5为边组成三角形，则x的取值范围为________．
11．若△ABC的周长为a，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为__________．
12．(2011年江西)如图4－2－20，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点； ④AG∶DE＝∶4.其中正确结论的序号是__________．
图4－2－20
二级训练
13．(2011年山东威海)在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在边BC上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等？( )
A．EF∥AB B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DEF
14．(2011年浙江)如图4－2－21，点D，E分别在AC，AB上．
(1)已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；
(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE” 记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是________命题，命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格)．
图4－2－21
15．(2012年湖北随州)如图4－2－22，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.
图4－2－22
三级训练
16．(2011年湖南衡阳)如图4－2－23，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．
图4－2－23
17．如图4－2－24，两根旗杆间相距，某人从点B沿BA走向点A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为，该人的运动速度为/s，求这个人运动了多长时间？
图4－2－24
第二部分 空间与图形
第四章 三角形与四边形
第1讲 线、角、相交线和平行线
【分层训练】
1．143°25′ 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B
9．C 10.B 11.D
12．A 解析：如图D9，过点O作OD⊥OC，根据平面镜反射定律，可得∠AOD＝∠BOD.又∵AO垂直于水平面，OB平行于水平面，∴∠AOB＝90°.∴∠AOD＝∠BOD＝45°.又∵OD⊥OC，∴∠BOC＝90°－∠BOD＝45°.由于OB平行于水平面，可得∠1＝∠BOC＝45°.
图D9
11．D 13.B
14．C 解析：由题意，可得∠EAB＋∠DBA＝180°，又由∠C＝90°，可得∠CAB＋∠CBA＝90°，于是∠CAE＋∠DBC＝90°.故∠CAE ＝90°－∠DBC＝70°.
15．C 解析：∠D′EF＝∠DEF＝∠EFB＝65°，于是∠AED′＝180°－∠D′ED＝50°.
16．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1) (5)4 030 056
解析：(1)如图4－1－22(1)，图中共有1×2＝2对对顶角；
(2)如图4－1－22(2)，图中共有2×3＝6对对顶角；
(3)如图4－1－22(3)，图中共有3×4＝12对对顶角；
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成(n－1)n对对顶角；
(5)若有2 008条直线相交于一点，则可形成(2 008－1)×2 008＝4 030 056对对顶角．
17．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°.
(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α.
(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°.
(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关．
第2讲 三角形
第1课时 三角形
【分层训练】
1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B
10．6 11. 解析：由题意，可得△DEF的三边为△ABC的中位线，故其周长为. 12．①②③④ 13.C 14．(1)证明：连接BC， ∵ BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB， ∴ △DBC≌△ECB (SSS)． ∴ ∠DBC＝∠ECB. ∴ AB＝AC. (2)真 假 15．证明：(1)∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． (2)由(1)，可知：△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD，即∠BAE＝∠CAE. 在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE(SAS)． ∴BE＝CE(全等三角形的对应边相等). 16．7 解析：因为将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，所以EC＝AE，故△ABE的周长为AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝3＋4＝7. 17．解：∵∠CMD＝90°， ∴∠CMA＋∠DMB＝90°. 又∵∠CAM＝90°， ∴∠CMA＋∠ACM＝90°. ∴∠ACM＝∠DMB. 又∵CM＝MD， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD. ∴AC＝BM＝3. ∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3(s)． 答：这人运动了3 s.