专题三 数形结合思想
1．(2012年四川自贡)伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校．在这一情景中，速度v和时间t的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )
2．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边处，玩具店位于书店东边处，小明从书店沿街向东走了，接着又向东走了－，此时小明的位置在( )
A．玩具店 B．文具店 C．文具店西边 D．玩具店东边－
3．已知实数a，b在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么( )
A．abb C．a＋b>0 D．a－b>0
4．已知函数y＝x和y＝的图象如图Z3－3，则不等式>x的解集为( )
A．－2≤x<2 B．－2≤x≤．x<2 D．x>2
图Z3－3
5．如图Z3－4，直线l1∥l2，⊙O与直线l1和直线l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是直线l1和直线l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( )
图Z3－4
A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．直线l1和直线l2的距离为2
6．如图Z3－5，已知四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且点D的坐标为(2,0)，点P是OB上的一个动点，则PD＋PA的最小值是( )
图Z3－5
A．2 B. C．4 D．6
7．(2012年天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图Z3－6，则下列结论正确的是( )
A．汽车在高速公路上的行驶速度为
B．乡村公路总长为
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为
D．该记者在出发后4.5 h到达采访地
图Z3－6
8．(2012年山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图Z3－7，给出下列结论：①b2－＞0；②＋b＜0；③－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是( )
图Z3－7
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．(2010年广东茂名)张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(单位：升)与行驶时间t(单位：时)之间的关系如图Z3－8.
请根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶________小时后加油，中途加油________升；
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
(3)已知加油前、后汽车都以70千米/时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由？
图Z3－8
10．(2011年湖南邵阳)如图Z3－9，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，点C(0,3)，点B是x轴上的一点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.
(1)求∠ACB的度数；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z3－9
11．(2012年四川宜宾)如图Z3－10，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l∶y＝x－5上．
(1)求抛物线顶点A的坐标；
(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，试判断△ABD的形状；
(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P，A，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z3－10
专题三 数形结合思想
【专题演练】
1．A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C
8．D
9．解：(1)3 31
(2)设y与t的函数关系式是y＝kt＋b(k≠0)，
根据题意，得
解得k＝－12，b＝50.
因此，加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式是y＝－12t＋50.
(3)由图可知：汽车每小时用油(50－14)÷3＝12(升)，所以汽车要准备油(210÷70)×12＝36(升)．
因为>，所以油箱中的油够用．
10．解：(1)如图D60，∠ACB＝90°.
(2)∵△AOC∽△COB，
图D60
∴＝.
又∵A，C(0,3)，
∴ AO＝，OC＝3.
∴解得OB＝4.
∴B(4,0)．把 A，B两点坐标代入解得：
y＝－x2＋x＋3.
(3)存在．
直线BC的方程为3x＋4y＝12，设点D(x，y)．
①若BD＝OD，则点D在OB的中垂线上，点D的横坐标为2，纵坐标为，即点D1(2，)为所求．
②若OB＝BD＝4，则＝，＝，得y＝，x＝，点D2(，)为所求．
11．解：(1)∵顶点A的横坐标为x＝－＝1，且顶点A在y＝x－5上，
∴当x＝1时，y＝1－5＝－4.
∴A(1，－4)．
(2)△ABD是直角三角形．
将A(1，－4)代入y＝x2－2x＋c，
可得1－2＋c＝－4，∴c＝－3.
∴y＝x2－2x－3.∴B(0，－3)．
当y＝0时，x2－2x－3＝0，x1＝－1，x2＝3，
∴C(－1,0)，D(3,0)．
∵BD2＝OB2＋OD2＝18，AB2＝(4－3)2＋12＝2，AD2＝(3－1)2＋42＝20，
∴BD2＋AB2＝AD2.
∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形．
(3)存在．
由题意知：直线y＝x－5交y轴于点E(0，－5)，交x轴于点F(5,0)．∴OE＝OF＝5.又∵OB＝OD＝3，
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形．
∴BD∥l，即PA∥BD.
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图D61，
图D61
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P(x1，x1－5)，则G(1，x1－5)．
则PG＝，AG＝＝.
PA＝BD＝3 ，
由勾股定理，得：
(1－x1)2＋(1－x1)2＝18，
x－2x1－8＝0，x1＝－2或4.
∴P(－2，－7)或P(4，－1)．
存在点P(－2，－7)或P(4，－1)使以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形．