【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨
一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－ <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－ =0；若无实数根，则Δ=b2－ <0。
因此，Δ=b2－称为一元二次方程根的判别式。
根的判别式b2的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：
典型例题：
例1：（2012广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【 】
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵中，a=1，b=2，c=2，
∴△。
∴无实数根。故选D。
例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【 】
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时， ，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确
故选D。
练习题：
1（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根。
2. （2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
3. （2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是【 】
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：
典型例题：
例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。
例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，
∴△=b2－=22－≥0，解得：m≤1。
∴m的取值范围是m≤1。故选B。
例4：（2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【 】
A． 1 B． ﹣C． D． ﹣
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+=0，解得a=﹣1。故选B。
例5：（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ▲ 。
【答案】c＞9。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣＜0，即36﹣＜0，c＞9。
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。
【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。
例7：（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是【 】.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
数根三种
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，
∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
例8：（2012四川成都4分）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数的图象不经过点（1，0）的概率是 ▲ 。
【答案】。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。
【分析】∵有两个不相等的实数根，∴△＞0。
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。
将（1，0）代入得，a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。
可见，符合要求的点为0，2，3。
∴P（符合要求）=。
练习题：
1（2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A．a＞2 B．a＜．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
2. （2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】
(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2
3. （2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【 】
A、k≥2 B、k≤C、k＞-2 D、k＜-2
4. （2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【 】．
A． k≥1 B． k≤． k>1 D． k<1
5. （2012北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ▲ 。
6. （2012四川资阳3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ▲ 。
7. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。
8. （2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？
9. （2009黑龙江佳木斯3分）若关于x的一元二次方程nx2－2x－1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x－n的图象不经过【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用：
典型例题：
例1：（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ▲ 。
例2：（2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。
【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣=0 ①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣。
∴，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1。
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。
∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。
（2）存在。理由如下：
假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。
∴OB=1，OC=2。
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。
∴PD=OC=2，即yP=2。
∵直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。
∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。
【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。
练习题：
1. （2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根。
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值。
2. （2007湖北襄阳7分）已知关于x的方程x2－2（m－2）x＋m2=0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数：
典型例题：
例1：（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】
A．64 B．．32 D．16
【答案】A。
【考点】完全平方式。
【分析】∵x2＋16x＋k是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2＋16x＋k=0根的判别式△=0。
∴△=162－4×1×k=0，解得k=64。故选A。
例2：（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ▲ 。
【答案】±6。
【考点】完全平方式。
【分析】∵x2﹣kx+9是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2﹣kx+9=0根的判别式△=0。
∴△=k2－4×1×9=0，解得k=±6。
例3：（2012湖北荆州3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为 ▲ 。
【答案】或。
【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。
【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2﹣kx+1=0根的判别式△=0。
∴△=k2－4×1×1=0，解得k=±2。
把k=±2分别代入反比例函数的解析式得：或。
练习题：
1. （2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】
A．9 B．－C．±9 D．±3
2. （2010广西南宁3分）下列二次三项式是完全平方式的是【 】
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
五. 判断双曲线与直线的公共点个数：
典型例题：
例1：（2012江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【 】
A. -2 B. C. 1 D. 2
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。
【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：
∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，
∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，
∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。
四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。
例2：（2012广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】A。
【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y＝x＋1和y＝得，x＋1＝，整理，得
x 2＋x－1＝0。
∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0有两不相等的实数根。
∴直线y＝x＋1与双曲线y＝有两个交点。故选A。
例4：（2012四川资阳8分）已知：一次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。
（1）(3分)求该反比例函数的解析式；
（2）(3分)将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。
【答案】解：（1）把x=1代入y=3x－2，得y=1。
设反比例函数的解析式为，把（1，1）代入得，k=1。
∴该反比例函数的解析式为
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x－2+4，即y=3x＋2，
联立y=3x＋2和，得，
，解得或。
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(－1, －1) 。
（3）y=－2x－2（答案不唯一）。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数图象与平移、旋转变换。
【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，从而求得交点坐标。
（3）∵函数的图象由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到，
∴可设所求函数解析式为y=mx－2，则由
得。
∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，
∴△=4－4·m（－1）＜0，解得m＜－1。
∴只要常数项为－2，一次项系数小于－1的一次函数均可。
例5：（2011湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为【 】
【答案】B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：
由+2=得2+2+3﹣m=0，
∵=+2与=有两个交点，∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。
即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。
又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。
∴m的取值范围为：2＜m＜3。
故在数轴上表示为B。故选B。
练习题：
1.（2011湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的
取值范围是 ▲ 。
2. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件的一个即可）。
3. （2006湖北黄石8分8）已知一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数的图象有唯一的公共点。
（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；
（2）证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。
4. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。
六. 判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数：
典型例题：
例2：（2012山东泰安3分）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为【 】
A． B． C． D．9
【答案】B。
【考点】抛物线与轴的交点。
【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴＞0，，即。
∵一元二次方程有实数根，
∴△=，即，即，解得。
∴的最大值为3。故选B。
例3：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值。
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
综上所述，k的取值范围是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。
②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。
∴y的最大值为，最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。
【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。
例4：（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标；
(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB
的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应) 。
【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴，解得：。
∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1。
∴直线OB的解析式为y＝x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。
又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。
∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－＝0，解得：m＝4。
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。
(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。
∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。
∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。
∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。
∴ 点N的坐标为(－，)。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1(－，－)，B1(4，－4)。
∴O、D、B1都在直线y＝－x上。
∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。
∴ ＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2) 根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。
练习题：
1（2011江苏南京7分）已知函数（是常数）。
⑴求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值。
2. （2011甘肃兰州4分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣＞0；（2）c＞1；（3）﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有【 】
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
3. （2011四川雅安3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞；②abc＞0；③+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是【 】
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
4.（2011四川泸州2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2﹣＜0，③a﹣b+c＞0，④﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是【 】
A、1 B、 C、3 D、4
5. （2008湖北武汉3分）下列命题：
①若a+b+c=0，则b2≥0；
② 若 b>a+c， 则 一 元 二 次 方 程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
③若 b=＋，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
④若b2－>0，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。
其中正确的【 】
A、只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④
6. （2009北京市7分）已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个
单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保
持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围。
一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，
判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例1：当m为何值时，关于x的二次三项式mx2－2（m＋2）x＋（m＋5）能在实数范围内因式分解。
例2：如果关于x二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是 ▲ 。
与平面几何相联系的问题。
例1：已知：关于x的方程有两个相等的实数根，试判断以a，b，c为三边的三角形的形状。
例2：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
例3：已知a，b，c是△ABC的三边，是关于x的一元二次方程，
（1）若△ABC是直角三角形，且∠C=90°，试判断方程实根的个数；
（2）若方程有两个相等的实数根，试求∠C的度数。