第3讲 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
一级训练
1．(2011年广东)正八边形的每个内角为( )
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是( )
A．3 B．．5 D．6
3．(2011年湖南邵阳)如图4－3－6，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
图4－3－6
4．如图4－3－7，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )
图4－3－7
A．3 B．．12 D．24
5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A．5 B．．7 D．8
6．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比值是( )
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶1
7．(2012年广西南宁)如图4－3－8，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
图4－3－8
A．＜OA＜ B．＜OA＜ C．＜OA＜ D．＜OA＜
8．(2011年江苏泰州)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．(2011年四川广安)若凸n边形的内角和为1 260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是__________．
10．在下列四组多边形地板砖中： ①正三角形与正方形； ②正三角形与正六边形； ③正六边形与正方形； ④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合， 能密铺地面的是__________(填正确序号)．
11．(2011年四川宜宾)如图4－3－9，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.
求证：GF∥HE.
图4－3－9
12．如图4－3－10，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．
图4－3－10
二级训练
13．(2009年广东茂名)如图4－3－11，杨伯家小院子的四棵小树E，F，G，H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
图4－3－11
14．(2011年浙江金华)如图4－3－12，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．
图4－3－12
15．(2010年广东)如图4－3－13，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
图4－3－13
三级训练
16．如图4－3－14，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°， ∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A. 100° B．110° C. 120° D. 130°
图4－3－14
17．(2012年山东威海)(1)如图4－3－15(1)，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
(2)如图4－3－15(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.
图4－3－15
第3讲 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
【分层训练】
1．B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C
8．C 9.6
10．①②④ 解析：①正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；②正六边形内角为120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；③正六边形和正方形无法密铺；④正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．故选D.
11．证明：∵在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又已知AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC.∴OF＝OE.
同理，得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥HE.
12．解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.
证法一：如图D13.
图D13
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠1＝∠2，
又∵CE＝AF，
∴△BCE≌DAF.
∴BE＝DF，∠3＝∠4.
∴BE∥DF.
证法二：如图D14.
图D14
连接BD，交AC于点O，
连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝CO.
又∵AF＝CE，
∴AE＝CF.
∴EO＝FO.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴BE綊DF.
13．A
14．2 提示：△EFD的面积与△EHD的面积相等．
15．证明：(1)∵在Rt△ABC中，
∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.
又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°.
∴AE＝2AF，且AB＝2AF.∴AF＝CB.
而∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴△AFE≌△BCA.∴AC＝EF.
(2)由(1)知道AC＝EF，而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.∴EF＝AC＝AD，且AD⊥AB.而EF⊥AB，
∴EF∥AD.∴四边形ADFE是平行四边形．
16．C
17．证明：(1)如图D15，∵四边形ABCD是平行四边形，
图D15
∴AD∥BC，OA＝OC.
∴∠1＝∠2.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.
(2)如图D16，∵四边形ABCD是平行四边形，
图D16
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
由(1)，得AE＝CF.
由折叠的性质，可得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B.
∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6.
在△AIE与△CGF中，
∴△AIE≌△CGF(AAS)．
∴EI＝FG.