第4讲 图形的相似
一级训练
1．(2011年浙江台州)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶ C．1∶5 D．1∶16
2．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )
A．1,2,3,4 B．1,2,2,．3,5,9,13 D．1,2,2,3
3．(2012年陕西)如图6－4－17，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝( )
图6－4－17 图6－4－18 图6－4－19 图6－4－20
A．1∶2 B．2∶．1∶3 D．1∶4
4．(2011年江苏无锡)如图6－4－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
5．(2011年湖南怀化)如图6－4－19，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为( )
A．9 B． C．3 D．4
6．如图6－4－20，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为( )
A．(，0) B. C．(，) D．(2,2)
7．若△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A．5∶3 B．3∶C．2∶3 D．3∶5
8．(2012年黑龙江牡丹江)如图6－4－21，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有( )
图6－4－21
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
9．如图6－4－22，已知在△ABC中，P是AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件____________(只要写出一种合适的条件)．
图6－4－22
10．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为，那么较大三角形的周长为______cm.
11．(2010年广东佛山)一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图6－4－23，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看(精确到)?
图6－4－23
12．已知：如图6－4－24，D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD，BE交于点G，AD⊥BC，点F在AD上，且△EFG∽△BDG.
求证：△AEF∽△ACD.
图6－4－24
13．(2012年湖南株洲)如图6－4－25，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.
(1)求证：△COM∽△CBA；
(2)求线段OM的长度．
图6－4－25
二级训练
14．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( )
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
15．如图6－4－26，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量A，B间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图6－4－26(1)、(2)、(3)所示(图中a，b，c表示长度，α，β，θ表示角度)．
(1)请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：
图6－4－26(1)AB＝________，图6－4－26(2)AB＝________，
图6－4－26(3)AB＝________；ww w.
(2)请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图(不要求写画法)，用字母标注需测量的边或角，并写出AB的长度．
图6－4－26
16．如图6－2－27，点C，D在线段AB上，△PCD是正三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
图6－2－27
17．如图6－4－28，江边同一侧有A，B两间工厂，它们都垂直于江边的小路，长度分别为、，且两条小路之间的距离为，现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管最短，则供水站应建在距点E处多远的位置？
图6－4－28
三级训练
18．(2011年湖南怀化)如图6－4－29，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝，AD＝，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为点M.
(1)求证：＝；
(2)求这个矩形EFGH的周长．
图6－4－29
第4讲 图形的相似
【分层训练】
1．A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C
9．∠APC＝∠ACB 10.10
11．解：设其应穿xcm高的鞋子，
根据题意，得＝.
解得x≈.
12．证明：∵△EFG∽△BDG，
∴∠EFG＝∠GDB.
又∵∠ADC＝90°，
∴∠EFG＝90°.
在△AEF和△ACD中，∠AFE＝∠ADC，
∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.
13．(1)证明：∵点A与点C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN.
∴∠COM＝90°.
在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B.
又∵∠ACB＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA.
(2)解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10.
∴OC＝5.
∵△COM∽△CBA，
∴＝.
∴OM＝.
14．B
15．解：(1)a·tanα b
(2)(注：本题方法多种，下面列出3种供参考)
方法一：如图D43.
图D43
方法二：如图D44.
图D44
方法三：如图D45.
图D45
16．解：(1)当CD2＝AC·DB时，
△ACP∽△PDB.
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°.
∴∠ACP＝∠PDB＝120°.
若CD2＝AC·DB，则根据相似三角形的判定定理，得△ACP∽△PDB.
(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD，
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB＋∠DBP＝60°.
∴∠APC＋∠BPD＝60°.
∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°.
17．解：如图D46，作出B关于河岸的对称点C，连接AC，则BF＋FA＝CF＋FA＝CA，根据两点之间线段最短，可知水站建在F处时，供水管路最短．
易得△ADF∽△CEF.
∴设EF＝x，则FD＝5－x.
根据相似三角形的性质，得＝，＝，
解得x＝2.即EF＝．
故应建在距点E处的位置．
图D46
18．(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴ △AHG∽△ABC.
∴ ＝.
(2)解：由(1)，得＝，设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
可得＝，解得x＝12 ，即2x＝24.
∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．