浙江省温州市2013年第一次学业模拟考试
数 学 试 卷
亲爱的同学：
欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平。答题时，请注意以下几点：
1．全卷共4页，有三大题，24小题。全卷满分150分。考试时间120分钟。
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效。
3．参考公式：抛物线y=ax²+bx+c(c≠0)的顶点坐标是（）
祝你成功！
一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，数轴上表示数﹣2的相反数的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
2．某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分別为：12，13，13，14，12，13，15，13，则他们年龄的众数为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C．D．
4．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6）
C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6） D．（2，3），（﹣4，6）
5． a4b﹣3b+2b分解因式得正确结果为（ ）w W w .
A．a2b（a2﹣6a+9） B．a2b（a﹣3）（a+3）
C．b（a2﹣3）2 D．a2b（a﹣3）2
6．下列调查：
①调查一批灯泡的使用寿命；
②调查全班同学的身高；
③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；
④企业招聘，对应聘人员进行面试．
其中符合用抽样调查的是（ ）
7． 国际奥委会的会旗将在伦敦上空升起，会旗上的图案由五个圆环组成．如图，在这个图案中反映出的两圆的位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、内切 C．外切、外离 D．外离、相交
8．下列命题中，假命题是（ ）
9．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
11．已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2= _________ ．
12．小程对本班50名同学进行了“我最喜爱的运动项目”的调查，统计出了最喜爱跳绳、羽毛球、篮球、乒乓球、踢毽子等运动项目的人数．根据调查结果绘制了人数分布直方图．若将其转化为扇形统计图，那么最喜爱打篮球的人数所在扇形区域的圆心角的度数为 _________ °．
13．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 _________ ．
第12题图 第13题图 第16题图
14．已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是 _________ ．
15．如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 _________ 个．
16．如图，点M是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1=A1M，△A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2=A2M，△A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3=A3M，△A3C3B的面积记为S3；以此类推…；则S1+S2+S3+…+S8= _________ ．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．
18．（8分）如图，已知线段AB，
（1）线段AB为腰作一个黄金三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（友情提示：三角形两边之比为黄金比的等腰三角形叫做黄金三角形）
（2）若AB=2，求出你所作的黄金三角形的周长．
19．（8分）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 ________ ；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表法求解）．
20．（8分）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
21．（10分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．
23．（12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．
（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
浙江省温州市2013年第一次学业模拟考试
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
第16题：解：过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，
∵点M是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，
∴OB×BM=1，
∴=OB×MB=，
∵A1C1=A1M，即C1为A1M中点，
∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半，
∴S1===，
∴=BM•A2到BM距离=×BM×BO=，
∵A2C2=A2M，
∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的，
∴S2===，
同理可得：S3=，S4=…
∴++…++，
=++…++，
=，
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）解：
=1﹣8+3+2 （3分）
=﹣2．（5分）
（2）解：移项得：（x﹣3）2=9，
开平方得：x﹣3=±3，（1分）
则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，（3分）
解得：x1=6，x2=0．（5分）
18. 解：（1）可分为两种情况：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形如图1，（2分）腰与底之比为黄金比为黄金比如图2，（4分）
（2）∵如图1，AB=2，当底与腰之比为黄金比时：
∴=，
∴AD=﹣1，
∴AB+AD+BD=，（6分）
如图2，当腰与底之比为黄金比时，
=，
∴AC=+1，
∴△ABC周长为．（8分）
19. 解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；（2分）
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，（6分）
∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．（8分）
20. 解：过点C作CE⊥AD于点E，
由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
故可得∠ACB=∠CAB=30°，（2分）
即可得AB=BC=，（4分）
设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE=x，
又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，（6分）
解得：x=15，即可得CE=15m．（8分）
答：小丽自家门前的小河的宽度为15m．
21.证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，（1分）
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），（2分）
∴AD=CN，（3分）
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，（4分）
∴CD=AN；（5分）
②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，（6分）
∴MD=MC，（7分）
由①知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，（8分）
∴AC=DN，（9分）
∴四边形ADCN是矩形．（10分）
22.（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，（1分）
又∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，（2分）
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，（3分）
∴CD是⊙O的切线．（4分）
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，（5分）
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，（6分）
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9﹣4=5，（7分）
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，w W w .
∴DA=DE，CB=CE，（8分）
∴DC=AD+BC=4+9=13，（9分）
在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，
∴DF==12，
∴AB=12，（10分）
∴⊙O的半径R是6．
23.（1）填写如下：每空1分
由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；
（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），
∵k=﹣5＜0，
∴此一次函数为减函数，
则当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）（3分）
（3）设两村的运费之和为W，
则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920（0≤x≤200），（8分）
∵k=2＞0，
∴此一次函数为增函数，（10分）
则当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元．（11分）
此时调运方案为：从A村运往C仓库0吨，运往D仓库为200吨，B村应往C仓库运240吨，运往D仓库60吨．（12分）
24.（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，
∴OC=OP+PC=4+4=8，（2分）
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．
点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．（4分）
（2）结论：△AEF的面积S不变化．
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，（5分）
∴，即，解得CE=．
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．（6分）
S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE
=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE
=[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）（8分）
化简得：S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32．（9分）
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，（10分）
∴，即，化简得t2﹣12t+16=0，（11分）
解得：t1=6+2，t2=6﹣2，（13分）
由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去．
∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．（14分）