2013年临沂市初中学生学业考试试题
数 学（解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷1至4页，第II卷5至12页.共120分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共42分）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.的绝对值是
（A）.（B）. （C）. （D）.
答案：A
解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A。
2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学计数法表示为
(A). (B). (C). (D) .
答案：D
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
50 000 000 000＝
3．如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是
(A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°.
答案：B
解析：因为∠2=135°，所以，∠2的邻补角为45°，又两直线平行，内错角相等，所以，∠1=45°
4．下列运算正确的是
(A). (B). (C). (D).w w w .
答案：C
解析：对于A，不是同类项不能相加，故错；完全平方展开后有三项，故B也错；由幂的乘方知，故D错，选C。
5．计算的结果是
(A). (B). (C). (D).
答案：B
解析：＝，选B。
6．化简的结果是
(A). (B). (C). (D).
答案：A
解析：＝＝＝
7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是
（A） （B） (C) (D)
答案：C
解析：由三视图可知，这是一个圆柱，底面半径为1cm，高为3cm，侧面展开图是矩形，它的面积为S＝23＝
8．不等式组的解集是
(A). (B). (C). (D)
答案：D
解析：第一个不等式的解集为x＞2，解第二个不等式得：8，所以不等式的解集为：
9.在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94.这组数据的众数和中位数分别是
(A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95，94.
答案：D
解析：95出现两次，最多，故众数为95，又由小到大排列为：88，92，93，94，95，95，96，故中位数为94，选D。
10.如图，四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是
（A） AB=AD.
(B) AC平分∠BCD.
(C) AB=BD.
(D) △BEC≌△DEC.
答案：C
解析：由中垂线定理，知AB＝AD，故A正确，由三线合一知B正确，且有BC＝BD，故D也正确，只有C不一定成立。
11.如图，在平面直角坐标系中,点A1 ， A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是
（A） . (B) . (C) . (D) .
答案：D
解析：以A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，能作4个，其中A1B1O，A2B2O为等腰三角形，共2个，故概率为：
12.如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是
(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.
答案：B
解析：连结OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°，
所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知∠AOB=60°
13.如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图像经过OB边的中点C，则点B的坐标是
（A）( 1， ). （B）(， 1 ).
（C）( 2 ，). （D）( ，2 ).
答案：C
解析：设B点的横坐标为a，等边三角形OAB中，可求出B点的纵坐标为，所以，C点坐标为（），代入得：a＝2，故B点坐标为( 2 ，)
14、如图，正方形ABCD中，AB=,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发，以/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),△OEF
的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为
答案：B
解析：经过t秒后，BE＝CF＝t，CE＝DF＝8－t，，
，，
所以，，是以（4,8）为顶点，开口向上的抛物线，故选B。
2013年临沂市初中学生学业考试试题
数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15．分解因式 .
答案：
解析：＝
16．分式方程的解是 .
答案：
解析：去分母，得：2x－1＝3x－3，解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解。
17.如图，菱形ABCD中，AB＝4，,,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是 .
答案：
解析：依题可求得：∠BAD＝120°，∠BAE＝∠DAF＝30°，BE＝DF＝2，AE＝AF＝，所以，三角形AEF为等边三角形，高为3，面积S＝＝
18．如图，等腰梯形ABCD中，垂足分别为E,D,DE=3，BD=5，则腰长AB=
答案：
解析：由DE＝3，BD＝5，∠BED＝90°，得BE＝4，又DE2＝BE·EC，得EC＝，所以，BC＝，由勾股定理，得：＝
19. 对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的两个根，则﹡=
答案：
解析：（1）当，＝3时，﹡=＝－3；
（2）当，＝2时，﹡=＝3；
三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共21分）
20．（本小题满分7分）
新交通法规开始实施。为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯;B：偶尔闯红灯;C:经常闯红灯;D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1）和部分扇形统计图（如图2）.请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次调查共选取 名居民;
(2)求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整;
(3)如果该社区共有居民1600人，估计有多少人从不闯红灯？
解析：（1）80 ………………………………(2分)
（2）（人） ……………(3分)
.
所以“C”所对圆心角的度数是 ………(4分)
图形补充正确 ………………………………(5分)
（3）（人）．
所以该社区约有1120人从不闯红灯．…………………………………(7分)
21．(本小题满分7分)
为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元.
（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A,B两种学习用品各多少件？
（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
解析：（1）设购买A型学习用品x件，则B型学习用品为． ……(1分)
根据题意，得………………(2分)
解方程，得x=400．
则．
答：购买A型学习用品400件，购买B型学习用品600件． ………………………(4分)
（2）设最多购买B型学习用品x件，则购买A型学习用品为件.
根据题意，得……………………(6分)
解不等式，得.
答：最多购买B型学习用品800件. ……………………(7分)
22．（本小题满分7分）
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
解析：证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=ED.……………………………(1分)
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,
∴△AFE≌△DBE. ………………………(2分)
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中点，∴DB=DC,AF=DC ……………(3分)
（2）四边形ADCF是菱形. …………………………………(4分)
理由：由（1）知，AF=DC,
∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形. ……(5分)
又∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形
∵AD是BC边上的中线, ∴. … (6分)
∴平行四边形ADCF是菱形. …………………(7分)
四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共18分）
23． (本小题满分9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2.
（1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）.
解析： (1)证明：连接OD.
∵AB与⊙O相切于点D , ∴，∴.
∵,∴,∴
∵OC=OD, ∴.∴
(2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE
∴
∴ ……6分1.c Om
∵
∴
方法二：连接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2
∴,
∵OD=OE, ∴△DOE为等边三角形，即
24．（本小题满分9分）
某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该机器的生产数量；
(3)市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.（注：利润=售价成本）
解析：以下解题过程同方法一.
24．解：（1）设y与x的函数解析式为
根据题意，得解得
∴y与x之间的函数关系式为；…(3分)
（2）设该机器的生产数量为x台，
根据题意，得，解得
∵∴x=50.
答：该机器的生产数量为50台. ……………………………(6分)
（3）设销售数量z与售价a之间的函数关系式为
根据题意，得 解得
∴ ……………………(8分)
当z=25时，a=65.
设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元.
(万元). …………………(9分)
五、相信自己，加油呀！（本大题共2小题，共24分）
25．（本小题满分11分）如图，矩形中，∠ACB =，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则的值为 .
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转（）角，如图2，求的值；
(3)在（2）的基础上继续旋转，当，且使AP:PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论.
解析：（1） …………………………(2分)
（2）过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.…………………(3分)
∵在矩形ABCD中,，∴PH∥BC.
又∵，∴
∴,
………………(5分)
由题意可知,
∴Rt△PHE∽Rt△PGF.
∴ …………(7分)
又∵点P在矩形ABCD对角线交点上，∴AP=PC.
∴ ………………(8分)
（3）变化 ……………………………………………………(9分)
证明：过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.
根据（2），同理可证 ………(10分)
又∵ ∴ ………………………(11分)
26、（本小题满分13分）
如图，抛物线经过三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ，
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为： ………(3分)
（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.
设直线BC的解析式为，
由题意，得解得
∴直线BC的解析式为 …………(6分)
∵抛物线的对称轴是，
∴当时，
∴点P的坐标是. …………(7分)
（3）存在 …………………………(8分)
(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为，∴点N的坐标为 ………………………(11分)
（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，∵四边形是平行四边形，∴,
∴Rt△CAO ≌Rt△,∴.
∵点C的坐标为,即N点的纵坐标为，
∴即
解得
∴点的坐标为和.
综上所述，满足题目条件的点N共有三个，
分别为，， ………………………(13分)