初中数学专项训练：变量与函数
一、选择题
1．函数中，自变量x的取值范围是【 】
A. B. C. D.
2．函数中，自变量x的取值范围是
A．x＞﹣1 B．x＜﹣C．x≠﹣1 D．x≠0
3．函数中，自变量x的取值范围是【 】
A．x＞1 B．x＜． D．
4．函数中自变量x的取值范围是【 】
A．x＞3 B．x＜．x≠3 D．x≠﹣3
5．（2013年四川资阳3分）在函数中，自变量x的取值范围是【 】
A．x≤1 B．x≥．x＜1 D．x＞1
6．（2013年四川泸州2分）函数自变量x的取值范围是【 】
A．x≥1且x≠3 B．x≥ C．x≠3 D．x＞1且x≠3
7．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿DC方向匀速运动到终点C．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是
A． B． C． D．
8．如图3所示，结合表格中的数据回答问题：
（1）设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式．
（2）求当时的图形的周长．
9．按图2方式摆放餐桌和椅子．若用来表示餐桌的张数，来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加：
（1）题中有几个变量？
（2）你能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果是，写出函数解析式．
10．下列有序实数对中，是函数中自变量与函数值的一对对应值的是（ ）
A． B． C． D．
11．设等腰三角形（两底角相等的三角形）顶角的度数为，底角的度数为，则有（ ）
A．（为全体实数） B．
C． D．
12．如果每盒圆珠笔有12支，售价为18元，那么圆珠笔的售价（元）与支数之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
13．在下表中，设表示乘公共汽车的站数，表示应付的票价（元）
根据此表，下列说法正确的是（ ）
A．是的函数 B．不是的函数
C．是的函数 D．以上说法都不对
14．在圆的周长公式中，下列说法错误的是（ ）
A．是变量，2是常量
B．是变量，是常量
C．是自变量，是的函数
D．将写成，则可看作是自变量，是的函数
15．已知函数y=中，当x=a时的函数值为1，则a的值是（ ）
A．-1 B．．-3 D．3
16．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ）
A．S=120-30t（0≤t≤4） B．S=30t（0≤t≤4）
C．S=120-30t（t>0） D．S=30t（t=4）
二、填空题
17．函数中自变量x的取值范围是 ．
18．函数中，自变量x的取值范围是 ．
19．函数有意义，则自变量x的取值范围是 ．
20．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
21．函数中，自变量x的取值范围是 ．
22．函数的自变量x的取值范围是 ．
23．函数：中，自变量x的取值范围是 ．
24．函数中，自变量的取值范围是 .
25．（2013年四川眉山3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
26．若函数有意义，则自变量x的取值范围是 。
27．函数中，自变量x的取值范围是 ．
28．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
29．如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是 （写出n的取值范围）
30．函数中，自变量x的取值范围是 ．
31．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
32．圆的面积中，自变量的取值范围是 ．
33．下列：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为）的是 ．
34．函数中自变量的取值范围为 ．
35．点在函数的图象上，则点的坐标是 ．
36．函数中，当时， ，当时， ．
37．函数中自变量的取值范围是 ．
38．飞船每分钟转30转，用函数解析式表示转数和时间之间的关系式是 ．
39．矩形的面积为，则长和宽之间的关系为 ，当长一定时， 是常量， 是变量．
40．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≤2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按图的排列规律推断S与n之间的关系可以用式子___________来表示．
41．已知三角形底边长为4，高为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为_______________．
42．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．
43．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是_____________．当Q=时，t=_______________．
44．设在一个变化过程中有两个变量x、y，如____________，____________，那么就说y 是x的函数，x是自变量．
三、解答题
45．某市第五中学校办工厂今年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值（万元）与今后年数之间的函数关系式．
（2）画出函数图象．
（3）求5年后的年产值．
46．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积立方米与时间（时）之间的函数关系式．
（2）写出自变量的取值范围．
（3）10小时后，池中还有多少水？
（4）几小时后，池中还有的水？
47．如图1是襄樊地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：
（1）气温（℃） （填“是”或“不是”）时间（时）的函数．
（2） 时气温最高， 时气温最低，最高汽温是 ℃，最低气温是 ℃．
（3）10时的气温是 ℃．
（4） 时气温是．
（5） 时间内，气温不断上升．
（6） 时间内，气温持续不变．
48．某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式并写出自变量n的取值范围．
上题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是______________（1≤n≤25，且n是正整数）
②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式分别是___________，___________（1≤n≤25，且n是正整数）
③某礼堂共有P排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．
49．已知两个变量x、y满足关系2x-3y+1=0，试问：①y是x的函数吗？②x是y的函数吗？若是，写出y与x的关系式，若不是，说明理由．
50．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）有如下关系：
（1）请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式．
（2）当挂重时弹簧的总长是多少？
初中数学专项训练：变量与函数参考答案
1．B。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。
2．C
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选C。
3．C。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选C。
4．C。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选C。
5．D。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选D。
考点：函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
6．A。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且。故选A。
考点：函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
7．A
【解析】
试题分析：如图，作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，
设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，
则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b﹣yt，
∵O是对角线AC的中点，∴OE=b，OF=a。
∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点，
∴，即ay=bx，
∴。
∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t＜）。
故选A。
8．（1）；
（2）时，图形周长为35
【解析】（1）梯形个数为1时，周长为3+2=5；
梯形个数为2时，周长为2×3+2=8；
梯形个数为3时，周长为3×3+2=11；
…
可得梯形个数为n时，周长l的大小；
（2）把n=11代入（1）得到的式子求解即可．解：：（1）y=2x+15；
解：（1）根据图，分析可得：梯形的个数增加1个，周长为L增加3；
故L与n的函数关系式L=5+（n-1）×3=3n+2．
（2）n=11时，代入所求解析式为：L=3×11+2=35．
9． （1）有2个变量；
（2）能，函数关系式可以为；
【解析】（1）根据变量和常量的定义，可确定有两个变量。常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
（2）由图形可知，第一张餐桌上可以摆放4=2+2把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放2把椅子，则x张餐桌共有2x+2，依此即可得到椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式.
解：观察图形：x=1时，y=4，x=2时，y=6；x=3时，y=8；…
可见每增加一张桌子，便增加2个座位，所以有2个变量，分别是用来表示餐桌的张数与用来表示可坐的人数。
（2）观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
∴x张餐桌共有6+4（x-1）=4x+2个座位．
∴可坐人数y=4x+2，
故函数关系式为y=4x+2．
10．D
【解析】在四个坐标中，把坐标中的x或y代入，对照所得的y或x值与坐标值是否相同即得到判断．．
解：A、代入y=4，则x=2.5，错误，故本选项不符；
B、代入y=0.5，则x=0.75，错误，故本选项不符；
C、代入x=1，则y=1，错误，故本选项不符；
D、代入y=4，x=2.5，正确，故本选项符合．
故选D．
11．C
【解析】等腰三角形的顶角度数=180-2×底角，把相关数值代入即可求解；根据底角的度数应大于0，顶角度数大于0可得底角的取值范围．
解：∵等腰三角形由两个相等的底角，根据三角形内角和得，
∴y=180-2x，
∴x＞0，y＞0，
∴0＜x＜90，
故选C．
12．A
【解析】．根据总价=单价×数量列出函数解析式．
解：依题意有单价为元，
则有．
故选A．
13．A
【解析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出正确答案．
解：根据题意：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
故y是x的函数．
故选A．
14．
【解析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量来解答即可．
解：在圆的周长公式中，
C是r的函数，C，r是变量，2π是常量，将C=2πr写成，则可看作C是自变量，r是C的函数，
故说法错误的是A．
故选A．
15．D
【解析】本题考查了函数值和解分式方程．当x=a时的函数值为1，把x=a代入函数式中，得 =1，求解a=3．
解：∵函数y=中，当x=a时的函数值为1，
∴=1，
∴-1=a+2，
∴a=3．
故选D．
16．A
【解析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式. 汽车距天津的路程=总路程-已行驶路程，把相关数值代入即可，自变量的取值应保证时间为非负数，S为非负数
解：汽车行驶路程为：30t，
∴车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是：S=120-30t（0≤t≤4）．
故选A．
17．且x≠1。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。
18．
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
19．且
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且。
20．
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
21．。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
22．。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
23．。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
24．。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
25．。
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
考点：函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。
26．
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
27．
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
28．
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
29．（n=3，4，6）
【解析】
试题分析：∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，∴正n边形的每个内角度数。
∵360=kα，∴，解得。
∵，k为正整数，∴n﹣2=1，2，±4。
∴n=3，4，6，﹣2。
又∵n≥3，∴n=3，4，6，即（n=3，4，6）。
30．x≥0且x≠2且x≠3
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数、分式分母不为0和0指数幂不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠2且x≠3。
31．且
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且。
32．：r＞0．
【解析】：在函数关系式S=πr2中，S是关于自变量r的整式函数，则r可取全体实数；又因为r表示圆的半径，则r＞0．
解：∵圆的半径是正数，
∴r＞0，
即自变量r的取值范围是r＞0．
故答案为：r＞0．
33．①②
【解析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数．
解：∵对于①y=x2；②y=2x+1当x取值时，y有唯一的值对应；
故具有函数关系（自变量为x）的是①②；
34．全体实数
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，整式有意义的条件是：自变量取全体实数．
解：根据题意，可知
函数中自变量的取值范围为全体实数．
35．
【解析】把A（1，m）代入函数的解析式，可以求得m的值，
解：根据题意，得
m=2×1=2，
∴A（1，2）；
故答案为：（1，2）
36．，
【解析】把代入函数式中即可求得；把代入函数式中即可求得
解：当时．代入函数解析式得，
当时．代入函数解析式得，
解得
故答案为：，
37．
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
解：依题意，得．，
解得
故答案为：
38．：n=100t．
【解析】转数等于转速乘以时间．
解：：t表示转动的时间，那么在t分钟内齿轮转动的转数为：100t
即n=100t．
故答案为：n=100t．
39．：ab；a；S，b．
【解析】根据题意先列出函数关系式，再根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，从而可确定变量与常量．
解：由题意得：S=ab解：由题意得：S=ab，
在该关系式中，当长一定时，a是常量，S，b是变量．
故答案为：ab；a；S，b．
40．S=4n-4
【解析】此题属于规律性题目. 通过观察已知图形，可以得到前三个图形中棋子的个数分别为：4，8，12，可知后一个图形中棋子的个数比前一个图形中棋子的个数多4个．即可得到规律为：图案的每条边（包括两个顶点）上都有n个棋子，每个图案的棋子总数为4n-4．
解：根据所摆放的图形，可以根据周长的方法进行计算：第一个图中，每条边上是2个，总数是2×4-4=4×1．第二个图中，每条边上是3个，总数是3×4-4=4×2．第三个图中，每条边上是4个，总数是4×4-4=4×3．依此类推：当每条边上是n个时，则总数是S=4（n-1）=4n-4．
41．y=2x
【解析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式. 根据三角形的面积=底×高÷2得出．
解：依题意有y=4x÷2=2x．
故y与x的函数关系式为：y=2x．
42．-
【解析】本题考查了函数值.根据有相同的函数值，也就是y的值相等解答
解：由题意得：3x-2=5x+1
解得：x=-
43．Q=30-0.5t；0≤t≤60；40
【解析】本题考查了函数关系式及函数自变量的取值范围. 应先得到1分钟的流油量；油箱中剩油量=原来有的油量-t分流的油量，把相关数值代入即可求解．
解：∵60分钟可流完油，
∴1分钟可流油30÷60= kg，
∴t分流的油量为t，
∴Q=30- t，
∵油箱中剩余油量Q≥0，即：30- t≥0，解得：0≤t≤60，
当Q=时，30- t=10，解得：t=40，
44．对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应
【解析】本题主要考查了函数的概念. 根据函数的定义进行解答
解：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就是说x是自变量，y是x的函数．
45．（1）有2个变量；
（2）能，函数关系式可以为；
【解析】（1）根据等量关系：y=15+2x；
（2）根据函数式确定点画函数图象
（3）求5年后的年产值，就是当年数x=5时，代入函数式y=2x+15求出y的值即为年产值．
解：：（1）y=2x+15；
（2）图象过（0，15）和（1，17）两点，画出图象如下
（3）y=2x+15=2×5+15=25
故5年后年产值为25万元
46．（1）；
（2）；
（3）；
（4）14小时后
【解析】（1）根据函数的概念和所给的已知条件即可列出关系式，Q=800-50t；
（2）结合实际即可得出时间t的取值范围；
（3）根据（1）中的函数关系式，将t=10代入即可得出池中的水；
（4）结合已知，可知Q=100，代入函数关系式中即可得出时间t．
解：解：（1）由已知条件知，每小时抽水
则t小时后抽水50t立方米
而水池中总共有的水
那么经过t时后，剩余的水为800-50t
故剩余水的体积Q立方米与时间t（时）之间的函数关系式为：Q=800-50t；
（2）由于t为时间变量，所以 t≥0
又∵当t=16时将水池的水全部抽完了
故自变量t的取值范围为：0≤t≤16；
（3）根据（1）式，当t=10时，Q=300
故10小时后，池中还剩水；
（4）当Q=100时，根据（1）式解得 t=14
故14小时后，池中还有的水．
47．（1）是；（2）16，2，10，；（3）5；（4）9时和22时；（5）2时至12时（6）14时到16时．
【解析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）分别找出函数图象所对应的纵坐标的最高点与最低点的坐标即可；
（3）找到纵坐标为时函数图象横坐标对应的值即可；
（4）找到纵坐标为时函数图象横坐标对应的值即可；
（5）找到函数图象的纵坐标不断上升的一段函数图象，求出这段图象对应的横坐标的值即可；
（6）找到函数图象的横坐标增大，纵坐标不变的一段函数图象所对应的横坐标的值即可．
解：（1）根据函数的定义可知：气温T（℃）是（填“是”或“不是”）时间t（时）的函数；
（2）因为函数图象所对应的纵坐标的最高点坐标为（16，10）与最低点坐标为（2，-2），故16时气温最高，2时气温最低，最高汽温是，最低气温是；
（3）由函数图象可知，10时的气温是；
（4）由函数图象可知，9时和22时时气温是；
（5）由函数图象可知，2时至12时时间内，气温不断上升；
（6）由函数图象可知，12时到14时时间内，气温持续不变．
故答案为：（1）是；（2）16，2，10，；（3）5；（4）9时和22时；（5）2时至12时及14时到16时．
48．①m=2n+18；②m=3n+17，m=4n+16；③m=bn+a-b（1≤n≤p，且n是正整数
【解析】本题考查了函数关系式，同时是一道找规律的题目. （1）（2）通过观察可得出Nn=20+i×（n-1）（其中i为后一排比前排多出的座位数），由此可得出（1）（2）的答案；
（3）由每排多出b个座位可知，到第n排时共多出几个座位，再由第一排有a个座位可得出答案．
解：找出座位数与排数之间的关系：
第一排：20+0
第二排：20+1
第三排：20+2
…
第n排：20+（n-1）
∴可得规律m=n+19，1≤n≤25．
∴每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式为：m=n+19，自变量n的取值范围：1≤n≤25．
①根据题意：第一排有20个座位，当后面每一排都比前一排多2个座位，
则可以得出：每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是m=2n+18，
故答案为：m=2n+18，
②同理，当后面每一排都比前一排多3个座位时，m=3n+17，
当后面每一排都比前一排多4个座位时，m=4n+16；
③每一排多出b个座位∴第n排多出b（n-1），
∴第n排的座位数为：a+b×（n-1）m=bn+a-b（1≤n≤p），且n是正整数．
49．①y是x的函数，y=；②x是y的函数，x=
【解析】本题主要考查了函数的概念和函数关系式的知识．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案．解：根据题意可知：①y=，∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴y是x的函数；
②x=，∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴x是y的函数．
50．①y=0.5x+12； ②
【解析】本题考查了函数的关系式及函数值. （1）由上表可知12.5-12=0.5，13-12.5=0.5，13.5-13=0.5，14-13.5=0.5，14.5-14=0.5，15-14.5=0.5，0.5为常量，12也为常量．故可求出弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式．（2）令x=10时，求出y的值即可．
解：（1）由表可知：常量为0.5，12，
所以，弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12，
（2）当x=时，代入y=0.5x+12，
解得y=，即弹簧总长为17cm．