石景山区2013年初三第一次统一练习暨毕业考试
数 学 试 卷
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．-1.5的倒数是
A． B． C． D． -
2．今年财政部公布的最新数据显示，1至2月累计，全国公共财政收入22426亿元，比去年同期增加1508亿元，数字1508用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．无理数在哪两个整数之间
A．1和2 B．2和C．3和4 D． 4与5
4．函数中自变量x的取值范围是
A．≥1 B．且 C． D．≥1且
5．某班有10名学生参加篮球的“定点投篮”比赛，每人投10次，他们的进球数分别为：6，1，4，2，6，4，8，6，4，6．这组数据的极差和中位数分别是
A．7、5 B．5、．5、4 D． 7、4
6．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.则∠OCD的度数为
A． B．
C． D．
7．把同一副扑克牌中的红桃6、红桃7、红桃9三张牌背面朝上放在桌子上，从
中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为
A． B． C． D．
8．已知：如图，正方形的边长为2，、分别为、的中点，为线段上的一个动点，设，，则与的函数关系图象大致是
第Ⅱ卷（共88分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．将二次函数配方为形式，则___，________．
10．分解因式：=_______________．
11. 如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中，一段圆弧经过网格的格点A、B、C.则弧AC所在圆的半径长为 ；弧AC的长为 .
12．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第行（≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含的代数式表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．．
14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
15.已知：如图，点是的中点，∥，且＝.
求证：△≌△.
16．已知：，求代数式的值.
17．已知：一次函数与反比例函数( ,m为常数)的图象交于点（，2）、两点．
（1）求的值和点坐标；
（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，这两条直线交于点，若反比例函数的图象与△有公共点，请直接写出的取值范围．
18．如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D.飞机在A处时，测得山头D恰好在飞机的正下方，山头C在飞机前方，俯角为30°.飞机飞行了到B处时，往后测得山头C、D的俯角分别为60°和30°.已知山头D的海拔高度为，求山头C的海拔高度. （精确到0.01千米，已知）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 已知：如图，在四边形中，，△是等边三角形，，.求四边形的周长.
20．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2.
(1)求证：∠ABC=∠ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
21．以下是根据北京市2012年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制成的统计表和统计图的一部分.电话用户包括固定电话用户和移动电话用户两种.
2008-2012年全国电话用户到达数和净增数统计表
请根据以上信息，解答下列问题（注意：所求数据均保留整数）：
（1）统计表中的数据的值为_________；
（2）通过计算补全条形统计图并注明相应数据；
（3）2012年，全国移动电话用户净增约12591万户，求该年固定电话用户减少了多少万户.
22．问题解决：
已知：如图，为上一动点，分别过点、作于点，于点，联结、.
（1）请问：点满足什么条件时，的值最小？
（2）若，，，设.用含的代数式表示的长（直接写出结果）.
拓展应用：
参考上述问题解决的方法，请构造图形，
并求出代数式的最小值.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点M（-3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出抛物线关于轴的对称图形的解析式；
(3)如果点是点A关于原点的对称点，点是图形的顶点，那么在轴上是否存在点P，使得△与△是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.
24．如图，△中，∠, ，以为边向右侧作等边三角形．
（1）如图24-1,将线段绕点逆时针旋转，得到线段，联结，
则与长度相等的线段为 （直接写出结论）；
（2）如图24-2，若是线段上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,求的度数；
（3）画图并探究：若是直线上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点的位置，并求出的长；若不存在，请说明理由．
25．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D (4，2)，过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△， 与AB交于点M，与y轴交于点N， 与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合).
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围．
石景山区2013年初三第一次统一练习暨毕业考试
数学参考答案
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．
2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
9．； 10．； 11． ，； 12．13， ．
三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）
13．解：
= ……………………………4分
= …………………………………………………5分
14.解：解不等式①， …………………………………………2分
解不等式②， ……………………………………………4分
原不等式组的解集为，在数轴上表示为：
……5分
15．证明：∵是的中点
∴ …………………………… 1分
又∵∥
∴…………………………… 2分
在△和△中
…………………………… 4分
∴△≌△ …………………………………………………… 5分
16．解：原式 …………………………………2分
………………………… 3分
当时， …………………………… 4分
原式． ………………………………5分
17．解：(1)∵一次函数与反比例函数（） (m为常数)的图象交于点A（，2）、两点
∴ 解得 …………………………………2分
∴反比例函数（）的解析式为
由题意解得，………………………………3分
∵A（，2），
∴B（，1） ………………………………4分
(2) ………………………………5分
18．解：在Rt△ABD中，∵∠ ABD = 30°，
∴AD = AB·tan30° = 6 × = 2．……………1分
∵∠ABC = 60°，∠BAC = 30°，
∴∠ACB = 90°， …………………………………2分
∴AC = AB·cos30° = 6 × = 3．……………3分
过点C作CE⊥AD于点E，
则∠CAE = 60°，AE = AC·cos60° =.……………4分
∴DE = AD − AE = 2 − =
∴山头C的海拔高度为1+1.87千米. …………5分
19. 解：过点作于点………………… 1分
∵
∴
∵△是等边三角形
∴
∴ ………………… 2分
在Rt△中，
∴
由勾股定理得： ………………………………3分
在Rt△中，
∴
∴ ………………………………4分
∴
∴
∴…………5分[来源:学#科#网]
即四边形的周长为.
20． (1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
又∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠ADB. …………1分
(2) ∵∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB， …………………………2分
∴，
∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(1＋2)×1=3，∴AB=．…………3分
(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：
联结OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴，………………………………………4分
BF=BO=，
∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．………………………………………5分
21.解：（1）11800； …………………… 1分
（2） …………………2分
图略 …………………4分
（3） …………………………5分
22. 解：（1）当点、、三点在一条直线上时，的值最小………1分
(2) ……………………2分
(3)如图，令，，，设，则,
……………………3分
∵、、三点在一条直线上时，的值最小
∴的长即为的最小值.
过点作的平行线交的延长线于点
∵于，于.
∴∥
∴四边形是矩形 ……………………4分
∴,
在Rt△中，, ……………5分
∴的最小值为5． [来源:学,科,网]
23．解：（1）设抛物线的解析式为：
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（1,0）、B点坐标为（0,3）. ………………1分
又∵抛物线经过A、B、M三点，
∴ 解得：.
∴抛物线的解析式为：．………………2分
（2）抛物线关于轴的对称图形的解析式为：. ……3分
（3）点的坐标为（-1,0），∵，
∴该抛物线的顶点为．………………………………4分
若△与△相似，
①当=时，，点坐标为或……………5分
②当=时，，点坐标为或…………6分
∴当△与△是相似三角形时，
点坐标为或或或 ………………7分
24.解：(1) …………………………… 1分
（2由作图知，∠
∵△是等边三角形．
∴,
∴
在△和△中
∴△≌△
∴ …………………………… 3分
（3）如图3，同①可证△≌△ ，
[来源:学科网]
当∥时，
∵
∴
∵
∴
∴且…………………………… 5分
∴此时四边形是梯形．
如图4，同理可证△≌△,
当∥时，
,
∵
∴
∴
此时与不平行，四边形是梯形．
综上所述，这样的点有两个，分别在点两侧，当点在点左侧时，；当点在点右侧时，.…………………………… 7分
25.解：（1）由题意A(2.0) …………………………………………………………………1分
由D(4,2),
可得直线AD解析式： …………………………………………………2分
由B(0，4)，
可得直线AB解析式：，直线BD解析式：，J（）.
（2）在△ECD平移秒时，由∠CDF=45°，
可得D’（），N（）
设直线E’D’解析式为：
可得M()，…………………………………………………3分
Q（），P（）
由△MQD’∽△BJD,得，可得
S△MQD’ …………………………………………………4分
S梯形E’C’ PN………………………………………5分
S四边形MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S梯形E’C’ PN
∴当时,S最大=…………………………………………………6分
（3）当点H在x轴上时，有M()横纵坐标相等
即
∴
∴.…………………………………………………8分