2013年福州市初中毕业班质量检查
数 学 试 卷
(本卷共4页，三大题，共22小题；满分150分，考试时间120分钟)
友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡的相应位置上，答在本试卷一律无效．
一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)
1．计算－3＋3的结果是
A．0 B．－．9 D．－9
2．如图，AB∥CD，∠BAC＝120°，则∠C的度数是
A．30° B．60° C．70° D．80°
3．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为
A．3.5×107 B．3.5×．3.5×109 D．3.5×1010
4．下列学习用具中，不是轴对称图形的是
5．已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
6．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是
A． B． C． D．
7．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是
A．3∶1 B．8∶．9∶1 D．2∶1
8．如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且A、D在BC同侧，连接AD，量一量线段AD的长，约为
A． B． C． D．
9．有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次拆线统计图，下列说法正确的是
A．极差是40 B．中位数是58
C．平均数大于58 D．众数是5
10．已知一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表：
如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是
A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝x
二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡的相应位置)
11．分解因式：m2－＝________________．
12．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝____________度．
13．在一次函数y＝kx＋2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第______象限．
14．若方程组，则3(x＋y)－(3x－5y)的值是__________．
15．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是____________．
二、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡的相应位置．作图或添轴助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑)
16．(每小题7分，共14分)
(1) 计算：(π＋3)0―|―2013|＋×
(2) 已知a2＋＝－1，求(a＋1)－(a＋2)(a－2)的值．
17．(每小题8分，共16分)
(1) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．
(2) 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
18．(10分)有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则：
甲规则：
乙规则：
请根据以上信息回答下列问题：
(1) 袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______；
(2) 甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后______(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球；
(3) 根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．
19．(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1) 格点E、F在BC边上，的值是_________；
(2) 按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；
(3) 在(2)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．
20．(12分)如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．
(1) 求证：直线CF是⊙E的切线；
(2) 求证：AB＝CD；
(3) 求图中阴影部分的面积．
21．(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．
(1) 求证：四边形MFCN是矩形；
(2) 设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；
(3) 在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．
22．(14分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．
(1) 求抛物线解析式；
(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
2013年福州市初中毕业班质量检查
数学试卷参考答案
一、选择题(每题4分，满分40分)
1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D
二、填空题(每题4分，满分20分)
11．m(m－10) 12．360 13．四 14．24 15．1.5
三、解答题
16．(每题7分，共14分)
(1) 解：原式＝1－2013＋8× ……3分
＝1－2013＋1 ……4分
＝－2011 ……7分
(2) 解：原式＝2＋－a2＋4 ……3分
＝ a2＋＋4 ……4分
∵a2＋＝－1
∴原式＝－1＋4＝3 ……7分
另解：
∵a2＋＝－1
∴a2＋＋1＝0
∴(a＋1)2＝0
∴a＝－1 ……3分
原式＝2×(－1)×(－1＋1)－(－1＋2)×(－1－2)
＝3 ……7分
17．(每小题8分，共16分)
(1) 证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DEAC，EFAB， …………2分
∴四边形ADEF为平行四边形． …………4分
又∵AC＝AB，
∴DE＝EF． …………6分
∴四边形ADEF为菱形． …………8分
(2) 解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得： …………1分
＝， ………………4分
解得：x＝5． ………………6分
经检验：x＝5是原方程的解． …………7分
答：江水的流速为/时． …………8分
18．(10分)
(1) ……1分； (红2，黄1) ……2分； (黄2，红1) ……3分
(2) 不放回 ………5分
(3) 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大．
理由：在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有4种． …………6分
∴P(颜色相同)＝＝． …………7分
在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有8种． ……………8分
∴P(颜色相同) ＝＝． ……………9分
∵＜，
∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． ……………10分
19．(12分)
(1) ………3分
(2) 标出点D， ………5分
连接CD． ………7分
(3) 解：连接BD， ………8分
∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝． ……9分
由(1)可知BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2． ……10分
∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°． ……11分
∴tan∠BAD＝＝＝． ……12分
20．(12分)
解：(1) 过点E作EG⊥y轴于点G，
∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝1．
在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，
∴∠ECG＝30°． ………………1分
∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，
∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2分
∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．
即CF⊥CE．
∴直线CF是⊙E的切线． ………………3分
(2) 过点E作EH⊥x轴于点H，
∵点E的坐标为(1，1)，
∴EG＝EH＝1． ………………4分
在Rt△CEG与Rt△BEH中，
∵ ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．
∴CG＝BH． ………………6分
∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．
∴AB＝CD． ………………7分
(3) 连接OE，
在Rt△CEG中，CG＝＝，
∴OC＝＋1． ………………8分
同理：OB＝＋1． ………………9分
∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．
又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．
同理：∠OEB＝105°． ………………10分
∴∠OEB＋∠OEC＝210°．
∴S阴影＝－×(＋1)×1×2＝－－1． ………………12分
21．(12分)
(1) 证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°． …………1分
∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．
∴∠FMN＝90°． …………2分
∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形． …………3分
(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)
(2) 解：当运动时间为t秒时，AD＝t，
∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．
∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．
∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t． …………4分
又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．
∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1， …………5分
∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝DE·MF＋MN·MF
＝×2(t＋1)＋ (7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋ …………6分
∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋
∴当t＝4时，S有最大值． …………7分
(若面积S用梯形面积公式求不扣分)
(3) 解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM． …………8分
① 当△NME∽△DEM时，∴＝ ． …………9分
∴＝1，解得：t＝5． …………10分
② 当△EMN∽△DEM时，∴＝ ． …………11分
∴EM2＝NM·DE．
在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．
解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似． ……12分
22．(14分)
解：(1) 由题意，得： …………1分
解得：． …………3分
∴这个抛物线的解析式为y＝x2－x＋2． …………4分
(2) 解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝．
∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO＝2，BO＝4，
∴MF＝1，BF＝2，
∴M(2，1) ………………5分
∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，
设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)． ………………6分
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：
，解得：．
∴直线DE的解析式为y＝2x－3． ………………8分
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，CM＝BM．
设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)． ………………5分
∴BN＝4－＝．
∵CF∥x轴，∴∠CFM＝∠BNM．
∵∠CMF＝∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．
∴F(，2)． …………………6分
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：
，解得：．
∴直线DE的解析式为y＝2x－3． ………………8分
(3) 由(1)得抛物线解析式为y＝x2－x＋2，∴它的对称轴为直线x＝．
① 如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(，2)，
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B＝∠CAB． …………9分
GA＝＝，
∴点P1的坐标为(，－)． …………10分
② 如图4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，
∴G、N关于直线BC对称． …………11分
∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称． …………12分
⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B＝∠CAB． …………13分
设对称轴与x轴交于点H，则NH＝－＝1．
∴HP2＝＝，
∴点P2的坐标为(，)．
综上所述，当点的坐标为(，－)或(，)时，∠CPB＝∠CAB． ………14分