海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学
2013.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2的相反数是
A. 2 B. C. D.
2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A. 圆柱 B. 正方体 C. 球 D. 圆锥
4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
5．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是
A． B． C． D．
6.一副三角板如图放置，若∠1＝，则∠2的度数为
A．45° B．60° C．75° D．90°
7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：
则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是
A.10, 4 B.10，7 C.7，13 D. 13，4
8.如图，△是等边三角形，厘米，点从点出发,沿以每秒厘米的速度运动到点停止；同时点从点出发,沿折线以每秒厘米的速度运动到点停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点的运动时间为秒，、两点之间的距离为厘米，则表示与的函数关系的图象大致是
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式： ．
10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
11．如图,将正方形纸片对折，折痕为.展开后继续折叠，使点落在上，折痕为，则的正切值是 .
12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点.从起每隔个点顺次连接，当再次与点连接时，我们把所形成的图形称为“阶正十一角星”，其中（为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么
°；当900°时，= .
图1 图2
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．解不等式组：
15．先化简，再求值：，其中．
16.已知：如图，点，，在同一直线上，∥，，
求证：
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若是轴上一点，且满足，直接写出点的坐标．
18. 列方程（组）解应用题：
雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.如图，在四边形中，对角线,相交于点,==,=,∠=,.求的长和△的面积．
20.已知：如图，在△中，．以为直径的⊙交于点，过点作⊥于点.
(1)求证：与⊙相切；
(2)延长交的延长线于点.若，=求线段的长.
21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.
为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.
解答下列问题：
（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为 ；
（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；
（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）
22.问题：如图1，、、、是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形，使它的顶点、、、分别在直线、、、上，并计算它的边长.
图1 图2
小明的思考过程：
他利用图1中的等距平行线构造了的正方形网格，得到了辅助正方形，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点、、、，就可以画出一个满足题目要求的正方形.
请回答：图2中正方形的边长为 .
请参考小明的方法，解决下列问题：ww w.
（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为，边长为1）中，画出一个等边△，使它的顶点、、落在格点上，且分别在直线a、b、c上；
（3）如图4，、、是同一平面内的三条平行线，、之间的距离是，、之间的距离是，等边△的三个顶点分别在、、上，直接写出△的边长.
图3 图4
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为．
（1）求点坐标；
（2）直线经过点.
①求直线和抛物线的解析式；
②点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 ．
24．在△中，∠＝．经过点的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点、点作直线l的垂线，垂足分别为点、点．
（1）若，=（如图），则的长为 ；
（2）写出线段、之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线、交于点， ，=4，求的长．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
求点的坐标（用含的代数式表示）；
直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.
①若为直线上一动点，求△的面积；
②抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为 .
2013海淀中考一模数学参考答案
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
解：原式 ………………………4分
．………………………5分
解：由①得 ．………………………2分
由②得 ．………………………4分
则不等式组的解集为．………………………5分
15．先化简，再求值：，其中．
解：原式 ………………………2分
………………………3分
. ………………………4分
当时，原式=.………………………5分
16.证明：∥，
∴ ………………………1分
在△和△中，
∴△≌△.………………………4分
∴ ………………………5分
17.解：（1）∵ 点在反比例函数的图象上，
∴ . ………………………1分
∴ 点的坐标为.
∵ 点在一次函数的图象上，
∴.
∴.………………………2分
∴ 一次函数的解析式为．………………………3分
（2）点的坐标为（-3,0）或（1,0）．………………………5分
（写对一个给1分）
18.解：设原计划每天加工x顶帐篷. ………………………1分
.………………………3分
解得 . ………………………4分
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 解：过点作⊥于.
∵∠=90°,∠1=30°,
∴∠2=∠3=60°. ………………………1分
在△中，∠=90°.
∵∠4=45°，,
∴==.………………………2分
在△中，∠AFE=90°.
∴.………………………3分
在△中，∠=90°.
∴.
∴.………………………4分
∴.………………………5分
20.(1)证明：连接. ………………………1分
∵=,
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴∥.
∵⊥于,
∴⊥.
∵点在⊙上，
∴与⊙相切. ………………………2分
(2)解：连接.
∵为⊙的直径，
∴∠=90°.
∵=6，=，
∴=.………………3分
∵，
∴.
∴
在△中，∠=90°.
∵，
∴. ………………………4分
又∵∥，
∴△∽△.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴. ………………………5分
21.（1）.………………………1分
（2）∵，
∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分
………………………3分
（3）设去年同期销售万箱烟花爆竹.
.
解得.………………………4分
∴.ww w.
答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分
22.（1）.………………………2分
（2）①如图：
(答案不唯一) ………………………4分
②.………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为.………………………1分
∵抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，
∴点的坐标为 ．………………………2分
（2）∵点B在直线上，
∴①.
∵点A在二次函数的图象上，
∴②. ………………………3分
由①、②可得，. ………………………4分
∴ 抛物线的解析式为y＝，直线的解析式为y＝． ……………5分
（3）． ………………………7分
24．（1）.………………………1分
（2）线段、之间的数量关系为.………………………2分
证明：如图1，延长与直线交于点．
依题意，可得∠1＝∠2．
∵∠＝，
∴∠3=∠4.
∴.
∴＝．………………………3分
∵⊥，⊥，
∴∥．
∴△∽△．
∴ ．
∴．………………………4分
（3）解：当点在线段上时，如图2，
过点作∥交于点，交于点．
∴∠2＝∠．
∵∠1=∠2，
∴∠1＝∠．
∴．
∵∠＝，
∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4 =．
∴∠3＝∠4．
∴．
∵∥，
∴△∽△．
∴ ．
设，则．
∴在△中，∠＝，．
由（2）得，．
∵,
∴.
∴.
∴．
∵∥，
∴△∽△．
∴．
∴．………………………5分
∴．
∵∥，∥,
∴四边形为平行四边形.
∴.
∴．……………………6分
当点在线段的延长线上时，如图3，
同理可得,,.
∴=．
∴ ．
∴或8．……………………7分
25.解：（1），……………………1分
∴顶点坐标为.……………………2分
（2）①与抛物线交于、两点，
∴.
解方程，得.……………………4分
在点的左侧，
∴
∴……………………5分
直线的解析式为，直线的解析式为，
∴∥，两直线、之间距离.
∴.………………………6分
②最小值为 ……………………8分
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)