海珠区2012学年第二学期九年级综合练习
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，时间120分钟，可以使用计算器．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本练习卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．实数-2的绝对值是（ ※ ）
A．2 B．． D．
2．下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ※ ）
A． B． C． D．
3．如图所示几何体的正视图是（ ※ ）
A． B． C． D． 主视方向
4．下列计算中，正确的是（ ※ ）
A． B．
C． D．
5．两个相似三角形的相似比是1：2，其中较小三角形的周长为6，则较大的三角形的周长为（ ※ ）
A．3 B． C．9 D．12
6．分式方程的解是（ ※ ）
A．-2 B．．-4 D．4
7．函数中自变量的取值范围是（ ※ ）
A． B． C． D．
8．一次数学测验，甲、乙两班的数学成绩统计数据如下表：
小明通过上表分析后得出如下结论：（1）从平均分来看，甲、乙两班学生的数学成绩平均水平相同；（2）如果不低于120分为优秀，那么甲班获得优秀的人数比乙班多；（3）甲班同学的成绩波动相对比较大．上述结论正确的是（ ※ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
9．一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ※ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，分别以、
为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ※ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式： ※ ．
12．请写出抛物线上任意一个点的坐标 ※ ．
13．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ※ ．ww w.
14．已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是 ※ ．
15．如图，边长为1的正方形网格中，点、、在格点上，则 ※ ．
16．如图，在中，、分别是、边上的高，，，,则
※ ．
三、解答题（本题共9小题，共102分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（本题满分9分）解不等式组：
18．（本题满分9分）先化简，再求值：，然后选择一个你喜欢且符合题意的值代入求值．
19．（本题满分10分）
袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．
（1）从袋中随机摸出一个小球，求小球上数字等于4的概率；
（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字的积为偶数的概率．（用列表法或画树状图求解）
20．（本题满分10分）“地震无情人有情”，雅安地震牵动了全国人民的
心．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知
废墟一侧地面上探测点、相距2，探测线与地面的夹角分别是
30º和60º，试确定生命所在点的深度．（结果保留到0.1）
21．（本题满分12分）如图，正方形的边长为4，点是边上
一点，，点是的中点，求证：．
22．（本题满分12分）如图：若⊙的半径垂直于弦，垂足为，
，．
（1）求⊙的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
23．（本题满分12分）随着经济发展，污染问题日益严重．某环保厂家看到这个商机，以200万元购买了某项空气净化产品的生产技术后，再投入280万元购买生产设备进行该产品的生产．已知生产这种产品的成本价为每件30元，经过市场调研发现，该产品的销售单价定在40到50元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系如图所示．
（1）请根据图像直接写出销售单价是45元时的年销售量；
（2）求出年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（3）求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式；并说明投资的第一年，销售单价定为多少时该厂家能获得最大盈利？最大利润是多少？
24．（本题满分14分）如图，在直角梯形中，90°，，，，点是线段上的动点，连结，交于，连结，设．
（1）当30°时，求的周长；
（2）当时，求证：；
（3）是否存在，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
25．（本题满分14分）
如图，直线与抛物线交于、
两点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）证明直线过定点，并求出的坐标；
（2）当时，证明是等腰直角三角形；
（3）对于任意的实数，是否都存在一条固定的直线与以
为直径的圆相切？若存在，请求出此直线的解析式；若不
存在，请说明理由．
海珠区2012学年第二学期九年级综合练习
数学参考答案
一、选择题
1-5.ADACD 6-10.CBBCD
二、填空题
11. 12.略 13. ≤
14. 15.
三、解答题（由各学校自行决定评分标准）
17．（本题满分9分）
解：解不等式①得：>4
解不等式②得：<5
所以原不等式组的解集是4<<5
18．（本题满分9分）
解：原式=
=
=
=
=
当时，原式=1
（可以取除-1、0、1以外的任意实数）
19．（本题满分10分）
解：（1）
P（小球上数字等于4）=
（2）
P（数字的积为偶数）=
20．（本题满分10分）
解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，依题意：
∵∠1=60°，∠2=30°，AB=
∴∠DBC=∠1=60°，∠BAC=∠2=30°
∴∠BCA=∠DBC-∠BAC=30°=∠BAC
∴BC= AB=
∴CD==≈
即：生命所在点C的深度约为
21．（本题满分12分）
证明：∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，点F是BC的中点，
∴AB=BC=4，BF=FC=BC=2
∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABF和Rt△FCE中：
∴△ABF∽FCE
∴∠AFB=∠FEC
∵∠EFC+∠FEC=90°
∴∠EFC+∠AFB=90°，∠AFE-180°-（∠EFC+∠AFB）=90°，即：AF⊥EF
22．（本题满分12分）
解：（1）如图：连接OC，
∵OA⊥BC，PA=3，BC=，设圆O的半径为
∴在Rt△OPC中，PC=BC=，OP=，OC=
根据勾股定理：OP2+PC2=OC2
即：圆O的半径是6.
（2）如图：连接OB，
∵OA⊥BC，PA=3，PC=BC=，设圆O的半径=6
∴OP=3，sin∠POC==
∴∠POC=60°，∠BOC=120°
∴-
=
=
23．（本题满分12分）
解：（1）如图：销售单价是45元时的年销售量是30万件．
（2）如图：当40≤≤45时，设函数关系式为，分别代入（40,40）和（45,30），则：
解得：
当45<≤50时，设函数关系式为，分别代入（45,30）和（50,25），则：
解得：
所以年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：
40≤≤45
45<≤50
（3）该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式为：
40≤≤45
45<≤50
当40≤≤45时，
时，
所以此时厂家不管如何定销售单价，都不可能盈利．
当45<≤50时，
时，
综上所述：销售单价定为50元时，厂家能获得最大盈利，最大利润是20万元.
24．（本题满分14分）
解：（1）如图：∵90°，，，30°
∴Rt△EBC中，BE=BCtan30°=2，EC==
的周长=BC+EB+EC=6+6
（2）如图：取FC的中点P，连接E、P，
∵90°，，，
，，，
∴EP是直角梯形的中位线，EP=
EP也是Rt△EFC斜边上的中线，EP=
∴EP==，即
（3）如图：取AB的中点Q，连接Q、P，
∵90°，，，，
，，
∴AE=10-,QE=，∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
QP是直角梯形的中位线，QP=，∠PQE=90°
EP是Rt△EFC斜边上的中线，EP=
要使得，只需EP=QP,即Rt△PQE是等腰直角三角形，QP=QE=
∴AF=2QP-BC=2-6
∵90°， ，
∴∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
∴∠AFE=∠BEC
∴Rt△EBC∽Rt△FAE
∴，即
当0≤≤5时，=，2-6=
，（舍），
当5<≤10时，=，2-6=
，，（舍）
综上所述：时，
25．（本题满分14分）
解：（1）证明：∵
∴当时，，即直线过定点（1,2）
（2）当时，直线，ww w.
交点A（，）、B（，）的坐标符合方程组：
， 解得： ，即A（-1,2），B（3,2）
抛物线=，抛物线的对称轴与轴交于点
∴Q（1,0）
∴AB=
AQ=
BQ=
∴AB2=AQ2+BQ2，AQ=BQ，即是等腰直角三角形
（3）存在定直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是.理由如下：
交点A（，）、B（，）的坐标符合方程组：
，即：
∵，
∴
∴AB=，
即以为直径的圆的半径为
∵AB的中点是（，）
∴AB的中点，即以为直径的圆的圆心坐标为（，），
∵圆心到轴的距离刚好等于半径
∴存在定直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是.