顺义区2013届初三第一次统一练习
数学试卷2013.4
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的倒数是
A． B． C． D．3
2．据2013年4月1日《CCTV—10讲述》栏目报道，2012年7月11日，一位26岁的北京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3 359公里．请把3 359用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是
4．我区某一周的最高气温统计如下表：
则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．17，17 B． 17，18 C．18，17 D．18，18
5．下列计算正确的是
A． B． C. D.
6．如图，∥ ，点在上，，，则的度数为
A． B． C． D．
7．若为实数，且，则的值为
A．1 B． C． 2 D．
8．如图，AB为半圆的直径， 点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：= ．ww w.
10．袋子中装有3个红球和4个黄球，这些球除颜色外均相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，则摸出红球的概率是_____________．
11．如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ．
12．如图，边长为1的菱形中，，则菱形的面积是 ，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的面积为___________．
w w w .
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
15．已知：如图，平分, 点在上，，．
求证： ．
16．已知，求代数式的值．
17．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积.
18．某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，，，，，求AC和BD的长.
20．如图，已知，以为直径的交于点，点为的中点，连结交于点，且.
（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半为2,,求的长.
21．某课外实践小组的同学们为了解2012年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
请解答以下问题：
（1）表中 ， ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（4）若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？
22． 如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得．
问题：如图2，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.
24．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点
（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．
25．如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．
顺义区2013届初三第一次统一练习
数学试题参考答案及评分参考
一、选择题
二、填空题
三、解答题
13．解：原式= …………………………………………4分
= ……………………………………………… 5分
14． 解：解不等式，得． ………………………………… 1分
解不等式，得． ………………………………… 2分
∴不等式组的解集为． ………………………………… 4分
在数轴上表示其解集为如图所示
…………………………………5分
15．证明：∵平分
∴ ……………………………………………1分
在和中
∵ ……………………………………………3分
∴≌ …………………………………………… 4分
∴ ……………………………………………5分
16．解：原式= ………………………2分
= ………………………………………… 3分
=
= ……………………………………………… 4分
∵
∴
∴原式= ………………………………………………5分
17．解：（1）将代入中，得．
∴． …………………………………………………………………1分
将代入中，得． ………………………………2分
将，代入中，得 ………3分
解得 ∴． ……………………………………………4分
（2）设直线AB与y轴交于点C
当时，．
∴．
∴ ………………………5分
18．解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为元， ……………………………1分
根据题意，列方程得
………………………………………………3分
解之得． …………………………………………………………4分
经检验是所得方程的解．
答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元． …………………………5分
解法二：设3月份销售这种纪念品件，则4月份销售（+30）件 …………1分
根据题意，列方程得
……………………………………………3分
解之得． ………………………………………………4分
经检验是所得方程的解
答：该种纪念品3月份每件的销售价格是（元）…………5分
19解：∵
∴
∵ ，，
∴
∴ ， …………………………………………1分
∴ ……………………………………………………… 2分-
∴ ………………………………………………3分
过点作,垂足为
∵
∴
………………………………………………4分
∵
∴
∴ …………………………5分
20．⑴ 与⊙O相切
证明：连接，
∵是的直径
∴
∴
∵
∴
又 ∵为的中点
∴ …………………………1分
∴
即
又∵是直径
∴是的切线 …………………………2分
（2）∵的半为2
∴,
∵
由（1）知，，
∴ ,
∴ , ………………………… 3分
∵,
∴∽，
∴
∴， …………………………4分
设
由勾股定理 ， （舍负）
∴ …………………………5分
21． 解：（1）表中填；. …………………………2分
(2）补全的图形如下图.
- …………………………3分
（3）.
即月均用水量不超过15t的家庭占被调查的家庭总数的68%.
…………………………4分
（4）.
所以，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有180户. ………………5分
22．判断是直角三角形
证明：如图连结，取的中点，连结，……………………1分
是的中点，
∴，，………………… 2分
∴．
同理，，
∴．
∴，
∴． …………………………………………3分
，
∴，
∴是等边三角形．………………………………4分
，
∴，
∴
∴
即是直角三角形．…………………………… 5分
23．（1）证明：①当时，方程为，所以 ，方程有实数根.…… 1分
②当时,
=
=
= ………………………………2分
所以,方程有实数根
综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分
（2）令，则
解关于的一元二次方程，得 ， ……………………5分
二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，
所以只能取1，2
所以抛物线的解析式为或………………7分
24．
（1）证明：∵
∴
又∵
∴
∴ ………………………………………………………2分
（2）成立.
证明：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
则
∵
∴
∴
∴ …………………………………4分
（3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则
∴
∴ …………………………………5分
∴
∴
∴ ww w.
∴ …………………………………7分
25．解：（1）将点代入得
……………………1分
解之得，
所以抛物线的解析式为
……………………2分
（2）由（1）可得抛物线顶点 [来源:学*科*网]
……………………3分
直线的解析式为
由是对称轴与直线的交点，则
由与关于点对称 ，则 ……………………4分
证法一：
从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于
在和中
，
所以∽
所以 …………………………………5分
证法二：直线的解析式为
点 关于对称轴的对称点是
将点代入可知点在直线
所以
（3）在中，三内角不等，且为钝角
10 若点在点下方时，
在中，为钝角
因为，
所以和不相等
所以，点在点下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分
20 若点在点上方时，
由，要使与相似
只需（点在之间）或（点在的延长线上）
解得点的坐标为或 ………………………………………8分