2014年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题只有一个选项正确，每小题选对得3分，错选不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）(2014年山东东营)的平方根是（ ）
A． ±3 B． 3 C． ±9 D． 9
考点： 平方根；算术平方根．菁优网版权所有
分析： 根据平方运算，可得平方根、算术平方根．
解答： 解：∵，
9的平方根是±3，
故答案选A．
点评： 本题考查了算术平方根，平方运算是求平方根的关键．
2．（3分）(2014年山东东营)下列计算错误的是（ ）
A． 3﹣=2 B． x2•x3=x6 C． ﹣2+|﹣2|=0 D． （﹣3）﹣2=
考点： 二次根式的加减法；有理数的加法；同底数幂的乘法；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析： 四个选项中分别根据二次根式的加减法求解，同底数幂的乘法法则求解，绝对值的加减法用负整数指数幂的法则求解．
解答： 解：A，3﹣=2正确，
B，x2•x3=x6 同底数的数相乘，底数不变指数相加，故错，
C，﹣2+|﹣2|=0，﹣2+2=0，正确，
D，（﹣3）﹣2==正确．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次根式的加减法，同底数幂的乘法，绝对值的加减法，负整数指数幂，解题的关键是根据它们各自和法则认真运算．
3．（3分）(2014年山东东营)直线y=﹣x+1经过的象限是（ ）
A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第二、三、四象限 D． 第一、三、四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析： 根据一次函数的性质解答即可．
解答： 解：由于﹣1＜0，1＞0，
故函数过一、二、四象限，
故选B．
点评： 本题考查了一次函数的性质，要知道，对于y=kx+b（k≠0）来说，k、b的符号决定函数所过的象限．
4．（3分）(2014年山东东营)下列命题中是真命题的是（ ）
A． 如果a2=b2，那么a=b
B． 对角线互相垂直的四边形是菱形
C． 旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等
D． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
考点： 命题与定理．菁优网版权所有
分析： 利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．
解答： 解：A、错误，如3与﹣3；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；
D、正确，是真命题，
故选D．
点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．
5．（3分）(2014年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点： 扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析： 过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．
解答： 解：过A作AD⊥CB，
∵∠CAB=60°，AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=，
∴AD=AC•sin60°=×=，
∴△ABC面积：=，
∵扇形面积：=，
∴弓形的面积为：﹣=，
故选：C．
点评： 此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．
6．（3分）(2014年山东东营)下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答： 解：从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，
可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，
即可得出左视图的形状．
故选B．
点评： 此题主要考查了三视图的概念．根据俯视图得出每一组小正方体的个数是解决问题的关键．
7．（3分）(2014年山东东营)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A． ②③ B． ①② C． ③④ D． ②③④
考点： 位似变换；命题与定理．菁优网版权所有
分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解答： 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；
②位似图形一定有位似中心，此选项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．
正确的选项为②③．
故选：A．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（3分）(2014年山东东营)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 几何概率；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析： 先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．
解答： 解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，
根据平行线的性质可得S1=S2，则阴影部分的面积占，
故飞镖落在阴影区域的概率为：；
故选C．
点评： 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．
9．（3分）(2014年山东东营)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A． 0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣2
考点： 抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答： 解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数时一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
10．（3分）(2014年山东东营)如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：
①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF．
其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 圆的综合题．菁优网版权所有
分析： ①由四边形ABCD是菱形，AB=BD，得出△ABD和△BCD是等边三角形，再由B、C、D、G四个点在同一个圆上，得出∠ADE=∠DBF，由△ADE≌△DBF，得出AE=DF，
②利用内错角相等∠FBA=∠HFB，求证FH∥AB，
③利用∠DGH=∠EGB和∠EDB=∠FBA，求证△DGH∽△BGE，
④利用CG为⊙O的直径及B、C、D、G四个点共圆，求出∠ABF=120°﹣90°=30°，在RT△AFB中求出AF=AB，
在RT△DFB中求出FD=BD，再求得DF=AF．
解答： 解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
又∵AB=BD，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°，
又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，
∴∠DCH=∠DBF，∠GDH=∠BCH，
∴∠ADE=∠ADB﹣∠GDH=60°﹣∠EDB，∠DCH=∠BCD﹣∠BCH=60°﹣∠BCH，
∴∠ADE=∠DCH，
∴∠ADE=∠DBF，
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF（ASA）
∴AE=DF
故①正确，
②由①中证得∠ADE=∠DBF，
∴∠EDB=∠FBA，
∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠BDC=60°，∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGE=180°﹣∠BGC﹣∠DGC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴FGD=60°，
∴FGH=120°，
又∵∠ADB=60°，
∴F、G、H、D四个点在同一个圆上，
∴∠EDB=∠HFB，
∴∠FBA=∠HFB，
∴FH∥AB，
故②正确，
③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠DBC=60°，
∴∠DGH=∠DBC=60°，
∵∠EGB=60°，
∴∠DGH=∠EGB，
由①中证得∠ADE=∠DBF，
∴∠EDB=∠FBA，
∴△DGH∽△BGE，
故③正确，
④如下图
∵CG为⊙O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，
∴∠GBC=∠GDC=90°，
∴∠ABF=120°﹣90°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFB=90°，
∴AF=AB，
又∵∠DBF=60°﹣30°=30°，∠ADB=60°，
∴∠DFB=90°，
∴FD=BD，
∵AB=BD，
∴DF=AF，
故④正确，
故选：D．
点评： 此题综合考查了圆及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，运用四点共圆找出相等的角是解题的关键．解题时注意各知识点的融会贯通．
二、填空题（共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分）
11．（3分）(2014年山东东营)2013年东营市围绕“转方式，调结构，扩总量，增实力，上水平”的工作大局，经济平稳较快增长，全年GDP达到3250亿元，3250亿元用科学记数法表示为 3.25×1011 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将3250亿用科学记数法表示为：3.25×1011．
故答案为：3.25×1011．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）(2014年山东东营)3x2y﹣27y= 3y（x+3）（x﹣3） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析： 首先提取公因式3y，再利用平方差进行二次分解即可．
解答： 解：原式=3y（x2﹣9）=3y（x+3）（x﹣3），
故答案为：3y（x+3）（x﹣3）．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）(2014年山东东营)市运会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 丙 ．
甲 乙 丙 丁新$课$标$第$一$网
平均数 8.2 8.0 8.2 8.0
方差 2.0 1.8 1.5 1.6
考点： 方差；算术平均数．菁优网版权所有
分析： 根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙最合适的人选．
解答： 解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，
说明丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3分）(2014年山东东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
考点： 勾股定理的应用．菁优网版权所有
分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答： 解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，AC==10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
15．（4分）(2014年山东东营)如果实数x，y满足方程组，那么代数式（+2）÷的值为 1 ．
考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•（x+y）=xy+2x+2y，
方程组，解得：，
当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．
故答案为：1
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（4分）(2014年山东东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 8 cm．
考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
分析： 作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解．
解答： 解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，=，
∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是8cm．
故答案为：8．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
17．（4分）(2014年山东东营)如图，函数y=和y=﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为 8 ．
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考点： 反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
分析： 设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
解答： 解：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得：=﹣，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a，），
∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为：8．
点评： 本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18．（4分）(2014年山东东营)将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 （45，12） ．
考点： 规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
分析： 根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．
解答： 解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；
∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，
∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．
故答案为：（45，12）．
点评： 此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．
三、解答题（共7小题，共62分）
19．（7分）(2014年山东东营)（1）计算：（﹣1）2014+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3
（2）解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答： 解：（1）原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3；
（2），
由①得：x＜1；由②得：x≥﹣，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜1，
，
则不等式组的整数解为﹣1，0．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）(2014年山东东营)东营市某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．
（1）求出被调查的学生人数；
（2）把折线统计图补充完整；
（3）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数；
（4）若从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．
考点： 折线统计图；扇形统计图；概率公式．菁优网版权所有
分析： （1）根据军人的人数与所占的百分比求解即可；
（2）分别求出教师、医生的人数，补全统计图即可；
（3）根据公务员的人数占总人数的比例即可得出结论；
（4）根据教师的人数占总人数的比例即可得出结论．
解答： 解：（1）∵军人”的人数为20，百分比为10%，
∴学生总人数为20÷10%=200（人）；
（2）∵医生的人数占15%，
∴医生的人数为200×15%=30（人），
∴教师的人数=200﹣30﹣40﹣20﹣70=40（人），
∴折线统计图如图所示：
（3）∵由扇形统计图可知，公务员占20%，
∴20%×360°=72°；
（4）∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，
∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率==
点评： 本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
21．（8分）(2014年山东东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
考点： 切线的判定；垂径定理．菁优网版权所有
分析： （1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
解答： （1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴=，
∴=，
解得：FD=．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．
22．（8分）(2014年山东东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（≈1.732，结果保留小数点后一位）？
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析： 过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．
解答： 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴BD=AD•tan30°=120×=40m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=120m，
∴CD=AD•tan60°=120×=120m，
BC=40=277.12≈277.1m．
答：这栋楼高约为277.1m．
点评： 本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
23．（8分）(2014年山东东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用．菁优网版权所有
分析： （1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
解答： 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天，由题意得
=
解得：x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，
2x=30
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15=67.5万元；
方案二：由乙工程队单独完成需要2.5×30=75万元；
方案三：由甲乙两队合作完成4.5×10+2.5×10=70万元．
所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．
点评： 本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（11分）(2014年山东东营)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
考点： 相似形综合题．菁优网版权所有
分析： 根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF（，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．
解答： 证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，
∴BG=BE，
∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，
∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分线，
又∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴△ABC∽△AEF．
∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，
∴∠CAH=30°，AH=EH．
∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，
∴．
∴==．
点评： 本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．
25．（12分）(2014年山东东营)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，﹣a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），
∴
解得：，
∴y=﹣x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；
（2）存在．
如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．
∵y=﹣2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MON时，
∴，
∴，
解得：a1=1，a2=﹣2
M（1，2）或（﹣2，﹣4）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
，
∴，
∴a=或，
∴M（，）或（，）．
∵M在第一象限，
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．
∴2=﹣b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．