点直线与圆的位置关系
一、选择题
1．(2014年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
考点： 切线的性质．
分析： 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答： 解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
2.（2014•邵阳，第8题3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）
3. （2014•益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
（第1题图）
4．（2014年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
分析： （1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．
解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，故此选项正确；
（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；
（3）连接AC，
∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，
∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．
点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
二.填空题
1. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
2．（2014•温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
3．（2014•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm．
4．（2014•浙江湖州，第9题3分）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B． △AOM∽△DMN C． ∠MBN=45° D． MN=AM+CN
分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D成立．
解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•AD
S△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．
点评：本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
5．（2014·浙江金华，第16题4分）如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG—GH—HE—EF表示楼梯，CH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH.
（1）如图2①，若点H在线段OB上，则的值是 ▲ ．
（2）如果一级楼梯的高度，点H到线段OB的距离d满足条件，那么小轮子半径r的取值范围是 ▲ ．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
∴.
考点：1. 直角三角形的构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 矩形的判定和性质；5.切线的性质；6.二次根式化简.
6. （2014•湘潭，第14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= 4 ．
（第1题图）
三.解答题
1. （ 2014•广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
2. （ 2014•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．
3. （ 2014•广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．
4. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
5．(2014年四川资阳，第21题9分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，
由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．
解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，
∴OC==3，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴=，即=，
∴CE=．
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
6．（2014•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．
7.（2014•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
8．（2014·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
求证：AC是⊙O的切线；
若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
9. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
（第1题图）
10. （2014•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（第2题图）
（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
11 （2014•扬州，第25题，10分）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
（第3题图）
12.（2014•滨州，第21题8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
13．（2014•德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
14.（2014•菏泽，第18题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．