圆的有关性质
一、选择题
1. （2014•山东潍坊，第6题3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是( )
A,44° B．54° C．72° D．53°
考点：圆周角定理；平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC，再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数．
解答：∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠ABC =90°－∠AEB=54°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=54°，
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．
2.(2014年贵州黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 2cm
考点： 圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．菁优网
专题： 计算题．
分析： 连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
解答： 解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故选B．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
3. （2014•山东临沂,第9题3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
4．（2014•四川凉山州，第12题，4分）已知⊙O的直径CD=，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=，则AC的长为（ ）
5．（2014•四川泸州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
6．（2014•四川内江，第7题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
7．（2014•甘肃兰州,第13题4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
二、填空题
1. （2014•四川巴中，第17题3分）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 ．
考点：圆周角定理．
分析：根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．
解答：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．故答案为70°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．（2014•湖南张家界，第16题，3分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
3. （2014•江西抚州，第13题，3分） 如图，△ABC内接于⊙O ,∠OAB=20°,则∠C的度数为.
解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C=∠AOB=70°
4. (2014•年山东东营,第16题4分)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 m．
考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．菁优网
分析： 作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解．
解答： 解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，=，
∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是．
故答案为：8．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
5．（2014•四川南充，第14题，3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．
点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．
6．（2014•甘肃兰州,第18题4分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 ．
三、解答题
1. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
2. （2014•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan=．
考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.
分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．
解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，
∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，
∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．
3.（2014•遵义26．（12分））如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．
（1）求证：CF=DB；
（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．
4. (2014年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为 ．
考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．菁优网
分析： 连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．
解答： 解：连接AB，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2．
又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴OA=OB=AB=，
∴扇形OAB的面积为：=．
故答案是：．
点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
5．（2014•四川南充，第24题，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．
分析：（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证，
（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．
（3）连接AC、BC、OG，由sinB=，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．
（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，
又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，
∴直线EP为⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接OG，
∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；
（3）解：如图，连接AC、BC、OG，
∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，
由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，
∴sin∠OGF==∴OF=1，
∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，
在RT△BCA中，
CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．
点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．
6．（2014•福建福州,第20题11分）
如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径.
【答案】（1）.（2）2.
【解析】
∴.
（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=.
∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴，即.
∴DM=4.
∴⊙O的半径为2.
考点：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.
7、（2014•广州,第23题12分） 如图6，中，，．
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点
（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：；
②求点到的距离．
【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股定理，等面积法
【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.
（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.
②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.
【答案】（1）如图所示，圆为所求
（2）①如图连接，设,
又
则
②连接,过作于,过作于
cosC=, 又
,
又为直径
设，则，
在和中，
有
即
解得：
即
又
即