不等式(组)
一、选择题
1. （ 2014•广西贺州，第7题3分）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
3．（2014年云南省，第3题3分）不等式组的解集是（ ）
A． x＞ B． ﹣1≤x＜ C． x＜ D． x≥﹣1
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：，由①得，x＞，由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：x＞．
故选A．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.（2014年广东汕尾，第3题4分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B． ＞ C． x+3＞y+3 D． ﹣3x＞﹣3y
分析：根据不等式的基本性质，进行选择即可．
解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A正确；
B、根据不等式的性质2，可得＞，故B正确；
C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C正确；
D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D错误；故选D．
点评：本题考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5.（2014•毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（ ）
6.（2014•武汉）为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：
由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（ ）
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7.（2014•邵阳，第6题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
8．（2014·台湾，第22题3分）图为歌神KTV的两种计费方案说明．若晓莉和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务生试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？( )
A．6 B．7 C．8 D．9
分析：设晓莉和朋友共有x人，分别计算选择包厢和选择人数的费用，然后根据选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，列不等式求解．
解：设晓莉和朋友共有x人，
若选择包厢计费方案需付：900×6＋99x元，
若选择人数计费方案需付：540×x＋(6﹣3)×80×x＝780x(元)，
∴900×6＋99x＜780x，
解得：x＞＝7．
∴至少有8人．
故选C．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．
9. （2014•湘潭，第6题，3分）式子有意义，则x的取值范围是（ ）
10. （2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
11. （2014•株洲，第2题，3分）x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
12. （2014•株洲，第6题，3分）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
13.（2014•滨州，第6题3分）a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（ ）
14.（2014•德州，第6题3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
15．（2014年山东泰安，第15题3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣36 B． a≤﹣36 C． a＞﹣36 D． a≥﹣36
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，不等式组有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此即可列不等式求得a的范围．
解：，解①得：x＜a﹣1，解②得：x≥﹣37，
则a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选C．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
二.填空题
1. （ 2014•广东，第15题4分）不等式组的解集是 1＜x＜4 ．
2．（2014•新疆，第10题5分）不等式组的解集是 ．
3．（2014•温州，第13题5分）不等式3x﹣2＞4的解是 x＞2 ．
4.（2014•毕节地区，第17题5分）不等式组的解集为 ﹣4≤x≤1 ．
5.（2014•武汉，第18题6分）已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．
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6．（2014•四川自贡，第12题4分）不等式组的解集是 1＜x≤ ．
7．（2014·浙江金华，第11题4分）写出一个解为的一元一次不等式 ▲ ．
【答案】（答案不唯一）.
【解析】
试题分析：根据不等式的性质，从x≥1逆推即可得到一元一次不等式：（答案不唯一）.
考点：1.开放型；2.不等式的解集．
8. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 a＜﹣5 ．
9. （2014年江苏南京，第15题，2分）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为 cm．
考点：一元一次不等式的应用。
分析：设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．
解答：设长为3x，宽为2x，由题意，得：5x+30≤160，
解得：x≤26，故行李箱的长的最大值为78．故答案为：78cm．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．
10. （2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＜5时，x的取值范围是 ．
考点：二次函数与不等式
分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．
点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．
三.解答题
1. （ 2014•安徽省,第20题10分）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析： （1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．
解答： 解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得
，
解得．
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，，解得x≥60．
a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，
由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，
最小值=70×60+7200=11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
点评： 本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；
2. （ 2014•珠海，第12题6分）解不等式组：．
3. （ 2014•珠海，第20题9分）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 1＜x+y＜5 ．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
4. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：
（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？
（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）
5．(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
考点： 二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析： （1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
解答： 解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．
6．(2014年天津市，第19题8分)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答： 解：（I）解不等式①，得x≥﹣1；
（II）解不等式②得，x≤1，
（III）在数轴上表示为：
；
（IN）故此不等式的解集为：﹣1≤x≤1．
故答案分别为：x≥﹣1，x≤1，﹣1≤x≤1．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（2014•舟山，第21题8分）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
8.（2014年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，
解得：x=50经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：
0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
9.（2014•襄阳，第24题10分）我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，．某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：
（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补载；若成活率达到94%以上（含94%），则城府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
10.（2014•孝感，第23题10分）我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：
设按计划全部售出后的总利润为y百元，其中批发量为x吨，且加工销售量为15吨．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．
11.（2014•邵阳，第23题8分）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
12．（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，老师至少要工作多少分钟？
13. （2014•湘潭，第21题）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
14. （2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
15. （2014年江苏南京，第17题）解不等式组：．
考点：一元一次不等式组的解
分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．
解答：，解①得：x≥1，解②得：x＜2，
则不等式组的解集是：1≤x＜2．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16. （2014•扬州，第26题，10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
17.（2014•呼和浩特，第19题5分）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组，并依据a的取值情况写出其解集．
18．（12分）（2014•菏泽，第15题6分）
（2）解不等式组，并判断x=是否为该不等式组的解．