分式与分式方程
一、选择题
1. （ 2014•广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
2. （ 2014•广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
3．（2014•温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
4.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
5.（2014•孝感，第6题3分）分式方程的解为（ ）
6．（2014·浙江金华，第5题4分）在式子中，x可以取2和3的是【 】
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子，
7. （2014•湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（ ）
8.（2014•呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（ ）
9.（2014•德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（ ）
二.填空题
1. （ 2014•安徽省,第13题5分）方程=3的解是x= 6 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解．
故答案为：6．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
2. （ 2014•福建泉州，第10题4分）计算：+= 1 ．
3.（2014·云南昆明，第13题3分）要使分式有意义，则的取值范围是 .
4．（2014·浙江金华，第12题4分）分式方程的解是 ▲ ．
【答案】.
【解析】
5．（2014•浙江宁波，第14题4分）方程=的根x= ﹣1 ．
6. （2014•益阳，第10题，4分）分式方程=的解为 x=﹣9 ．
7. （2014•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于 ﹣3 ．
8．（2014年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为 ．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．
解：原式=•=•=x﹣1．故答案为：x﹣1
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三.解答题
1. （ 2014•广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．
2. （ 2014•广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
3. （ 2014•珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．
4. （ 2014•广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．
5. （ 2014•广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
6. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．
7．(2014年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=÷
=•
=，
当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2014•新疆，第17题8分）解分式方程：+=1．
9．（2014年云南省，第15题5分）化简求值：•（），其中x=．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•=x+1，
当x=时，原式=．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2014年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
考点： 分式方程的应用．
分析： 设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解答： 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
点评： 本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
11．（2014•舟山，第18题6分）解方程：=1．
12.（2014年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，
解得：x=50经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：
0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
13.（2014•毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．
14.（2014•武汉，第17题6分）解方程：=．
15.（2014•襄阳，第13题3分）计算：÷= ．
16.（2014•襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
17.（2014•邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（﹣）•（x﹣1），其中x=2．
18．（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，老师至少要工作多少分钟？
19.（2014·云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：，其中.
20. （2014•湘潭，第18题）先化简，在求值：（+）÷，其中x=2．
21. （2014•益阳，第16题，8分）先化简，再求值：（+2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x=．
22. （2014•株洲，第18题，4分）先化简，再求值：•﹣3（x﹣1），其中x=2．
23. （2014年江苏南京，第18题）先化简，再求值：﹣，其中a=1．
考点：分式的化简求值
分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答：原式=﹣==﹣，
当a=1时，原式=﹣．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24.（2014•泰州，第18题，8分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
25. （2014•扬州，第19题，8分）（1）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°；
（2）化简：﹣÷．
26. （2014•扬州，第24题，10分）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
27. （2014•扬州，第26题，10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
28. （2014•株洲，第18题，4分）先化简，再求值：•﹣3（x﹣1），其中x=2．
29.（2014•益阳，第16题，8分）先化简，再求值：（+2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x=．
30.（2014•呼和浩特，第17题5分）计算
（2）解方程：﹣=0．
31.（2014•滨州，第20题7分）计算：•．
32.（2014•德州，第18题6分）先化简，再求值：÷﹣1．其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1．
33.（2014•菏泽，第16题6分）
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
34.（2014•济宁，第16题6分）已知x+y=xy，求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y）的值．
35.（2014•济宁，第19题8分）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
36．（2014年山东泰安，第25题）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
分析：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．