解直角三角形
一、选择题
1. （2014•浙江杭州，第3题，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
2. （2014•浙江杭州，第10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
3. （2014•江苏苏州,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
4. （2014•山东临沂,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）
5．（2014•四川凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=，则坡面AB的长度是（ ）
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
1. （2014•上海，第12题4分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米．
2. （2014•山东潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和
点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．
分析：根据AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．
解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG ∵CD=DG=2， AB=BG
∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB ∴BH=2BG=2GH
∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.
故答案为：54
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键．
3．（2014•湖南怀化，第13题，3分）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=，此时，他离地面高度为h=，则这个土坡的坡角∠A= 30 °．
落千丈
4．（2014•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是 ．
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014•四川巴中，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）°．
考点：解直角三角形的应用．
分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．
解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．
在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．
点评：本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
2. （2014•山东枣庄，第21题8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．
（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
3. （2014•山东潍坊，第21题10分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是600，求两海岛间的距离AB．
考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．
分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．
解答：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF上CD，交CD的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF， AE=BF，
由题意可知AE=BF=1100—200=900，CD=19900．
∴在Rt△AEC中，∠C=450, AE=900, ∴
在Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900 ∴
∴ AB=EF=CD+DF－CE=19900+－900=19000+
答：两海岛之间的距离AB是(19000+300√3）米
点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
4. （2014•山东烟台，第21题7分）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
考点：解直角三角形的应用．
分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，
再证明△BOD是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解答：延长OA交BC于点D．∵AO的倾斜角是60°，
∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．
在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=•=（米），
∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等边三角形，
∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣CD=4.5﹣3=1.5（米）．
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键．
5．（2014•湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．
6.（2014•湖南张家界，第21题，8分）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）
7. （2014•江西抚州，第21题，9分） 如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点在射线上滑动，∠的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于 ,且= .
⑴ 当∠=60°时，求两点间的距离；
⑵ 当∠由60°变为120°时，点向左移动了多少cm ?(结果精确到)
⑶ 设cm ,当∠的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求的取值范围 .(结果精确到)
(参考数据 ，可使用科学计算器)
解析：(1)如图1，
∵每个菱形的边长都是20㎝，
且DE=20㎝, ∴CE=DE,
∵∠CED=60°，
∴⊿CED是等边三角形，
∴CD=, ∴C、D两点之间的距离是.
(2)如图2，
作EH⊥CD于H,
在⊿CED中，CE=DE，
∠CED=120°
∴∠ECD=30°,∴EH=CE=10,
∴CH=10 , ∴CD=20,
∴点C向左移动了(20－20),
∴点A向左移动了(20－20)×3≈ .
(3)如图1，当∠CED=60°时， ∵ED=EG, ∠CGD=30°，
在Rt⊿CGD中， ，∵CG=40,
∴DG=20≈34.6；
如图2，当∠CED=120°时， ∠CGD=60°,
∴DG=CG=20, ∴20≤≤34.6.
8．（2014•山东聊城，第21题，8分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）
9.(2014年贵州黔东南)黔东南州22．（10分）某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网
分析： 过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．
解答： 解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN=0.25m，
∵∠EAM=45°，
∴AM=ME，
设AM=ME=xm，
则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，
∵∠ECN=30°，
∴tan∠ECN===，
解得：x≈8.8，
则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．
答：旗杆的高EF为10.3m．
点评： 本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
10.（2014•遵义21．（8分））如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
11.（2014•十堰15．（3分））如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 24 海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
12.（2014•娄底22．（8分））如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）
13.（( 2014年河南) 19.9分）在中俄“海上联合—反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5. ≈1.7)
解：过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度．
根据题意得 ∠ACD=300，∠BCD=680．
设AD=x.则BD＝BA十AD=1000＋x.
在Rt△ACD中，
CD=……………4分
在Rt△BCD中，BD=CD·tan688
∴1000+x=x·tan688 …………………………………………………7分
∴x=
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为。……………………9分
14. （2014•江苏徐州,第25题8分）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距的点C处．
（1）求点C与点A的距离（精确到）；
（2）确定点C相对于点A的方向．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网
分析： （1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；
（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．
解答： 解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D．
由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．
在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，
∴BD=50，AD=50．
∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC==100≈173（km）．
答：点C与点A的距离约为．
（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，
BC2=2002=40000，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．
答：点C位于点A的南偏东75°方向．
点评： 考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想．
15. （2014•江苏盐城,第23题10分）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．（取1.73，结果精确到）
16. (2014•年山东东营,第22题8分)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高（≈1.732，结果保留小数点后一位）？
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网
分析： 过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．
解答： 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30°，AD=，
∴BD=AD•tan30°=120×=40m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=，
∴CD=AD•tan60°=120×=120m，
BC=40=277.12≈．
答：这栋楼高约为．
点评： 本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
17．（2014•四川遂宁，第22题，10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin1+sin2B1= 1 ；sin2+sin2B2= 1 ；sin3+sin2B3= 1 ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1 ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
18．（2014•四川泸州，第22题，8分）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）
19．（2014•四川内江，第20题，9分）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）
20．（2014•四川南充，第22题，8分）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
分析： （1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．
解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，
设PE为x海里，则BE=PE=x海里，
∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，
在Rt△PAE中，，即：解得：x=60海里，
∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，
则BP=PE=60≈84.8海里，
B船需要的时间为：≈2.83小时，
在Rt△PAE中，=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里，
∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．
21．（2014•甘肃白银、临夏,第22题8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．
22．（2014•甘肃兰州,第24题8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．