南通市2014年中考数学试卷最后一题解析
【试题】如图，抛物线y=－x+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，对称轴与BC交于E.
求DE的长，
设过E的直线与抛物线y=－x+2x+3与x轴相交于M（x，y），N（x，y）试判断当的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，
设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求P的坐标.
【解析】（1）略
（2）∵E的坐标为（1,2）∴用待定系数法得直线MN的解析式为y=（2－b）x+b
点M，N的坐标是方程组的解，用代入法将方程组化为关于x的一元二次方程，得x－bx+b－3=0，由韦达定理得，x+ x=b，xx= b－3，
∵====，
∴当b=2时，最小值=2.∵b=2，∴直线MN的解析式为y=2，∴直线MN∥x轴.
有三种解法：
如图1，这里数学机智灵活的同学易发现tan∠DOH=4，又∵tan∠α=4，∴∠DOH=∠α，应用三角形外角定理与∠DAO+∠DPO=∠α，得∠DPO=∠ADO，显然△ADP∽△AOD，从而得AD=AO·AP，而AD=20，AO=1，因此AP=20，∴OP=19，由对称性OP=17，∴P（19,0） P（－17,0）
②③如图2，应用三角形外角定理转化出∠α.延长AD，过P作PF⊥AF于F，显然∠FD P=∠α，AD=2，∵tan∠α=4，设DF=m，则PF=4m，△ADH∽△A PF，则
解得m=2，∴AF=4，PF=8，在直角三角形AF P中由勾股定理得，AP=20，
以下与方法①相同.
③如图3，如果高中生来解很简单，应用三角公式tan（β+γ）=
∵∠α=∠β+∠γ，tan∠α=4，tan∠β=2 tan∠γ=，将以上条件代入三角公式tan（β+γ）=，可解得H P=18，以下与方法①相同.