绝密★启用前 试卷类型：A
2015年临沂市初中学生学业考试试题
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共42分）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的绝对值是
(A) . (B) . (C) 2. (D) 2.
2．如图，直线a∥b，∠1 = 60°，∠2 = 40°，则∠3等于
(A) 40°.
(B) 60°.
(C) 80°.
(D) 100°.
3．下列计算正确的是
(A) . (B) .
(C) . (D) .
4．某市6月份某周内每天的最高气温数据如下（单位：℃）：24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是
(A) 29，29. (B) 26，26. (C) 26，29. (D) 29，32.
5．如图所示，该几何体的主视图是
(A) (B) (C) (D)
6．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是
(A) (B)
(C) (D)
7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起. 则其颜色搭配一致的概率是
(A) . (B) . (C) . (D) 1.
8．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于
(A) 50°. (B) 80°.
(C) 100°. (D) 130°.
9．多项式与多项式的公因式是
(A) . (B) .
(C) . (D) .
10．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米／小时）的函数关系式是
(A) . (B) . (C) . (D) .
11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….
按照上述规律，第2015个单项式是
(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.
12．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB. 添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是
(A) AB=BE. (B) BE⊥DC.
(C) ∠ADB=90°. (D) CE⊥DE.
13．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是
(A) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位.
(B) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位.
(C) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位.
(D) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
14．在平面直角坐标系中，直线y =－x＋2与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是
(A) b﹥2.
(B) －2﹤b﹤2.
(C) b﹥2或b﹤－2.
(D) b﹤－2.
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．比较大小：2_______（填“﹤”，“＝”，“﹥”）.
16．计算：____________.
17．如图，在ABCD中，连接BD，, , ，则ABCD的面积是________.
（第17题图） （第18题图）
18．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则_________.
19．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），
当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数. 根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有______________（填上所有正确答案的序号）.
① y = 2x； ② y =x＋1； ③ y = x2 (x＞0)； ④ .
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（本小题满分7分）
计算：.
21．（本小题满分7分）
“保护环境，人人有责”，为了了解某市的空气质量情况，某校环保兴趣小组，随机抽取了2014年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计该市这一年（365天）空气质量达到“优”和“良”的总天数；
（3）计算随机选取这一年内的某一天，空气质量是“优”的概率.
（第21题图）
22．（本小题满分7分）
小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为，这栋楼有多高？
23．（本小题满分9分）
如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）.
24．（本小题满分9分）
新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元／米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送.
（1）请写出售价y（元／米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
25．（本小题满分11分）
如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
（1）请判断：AF与BE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.
26.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，O为原点，直线y =－2x－1与y轴交于点A，与直线y =－x交于点B, 点B关于原点的对称点为点C.
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由.
参考答案及评分标准
说明：解答题给出了部分解答方法，考生若有其它解法，应参照本评分标准给分.
一、选择题（每小题3分，共42分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．>； 16．； 17．； 18．2； 19．①③.
三、解答题
20．解：方法一：
= [][] 1分
= 3分
5分
6分
. 7分
方法二：
3分
5分
. 7分
21．解：（1）图形补充正确. 2分
（2）方法一：由（1）知样本容量是60，
∴该市2014年（365天）空气质量达到“优”、“良”的总天数约为：
（天）. 5分
方法二：由（1）知样本容量是60，
∴该市2014年（365天）空气质量达到“优”的天数约为：
（天）. 3分
该市2014年（365天）空气质量达到“良”的天数约为：
（天）. 4分
∴该市2014年（365天）空气质量达到“优”、“良”的总天数约为：
73+219=292（天）. 5分
（3）随机选取2014年内某一天，空气质量是“优”的概率为：
7分
22．解：如图，α = 30°，β = 60°，AD = 42.
∵，，
∴BD = AD·tanα = 42×tan30°
= 42×= 14. 3分
CD＝AD tanβ＝42×tan60°
＝42. 6分
∴BC＝BD＋CD＝14＋42
＝56(m).
因此，这栋楼高为m. 7分
23．（1）证明：连接OD.
∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC. 1分
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC， 2分
∴∠ADO=∠CAD. 3分
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD， 4分
∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC. 5分
（2）方法一：连接OE，ED.
∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°.
又∵，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED∥AO， 6分
∴S△AED＝S△OED，
∴阴影部分的面积 = S扇形ODE = . 9分
方法二：同方法一，得ED∥AO， 6分
∴四边形AODE为平行四边形，
∴ 7分
又S扇形ODE－S△OED= 8分
∴阴影部分的面积 = (S扇形ODE－S△OED) + S△AED =. 9分
24．解：（1）当1≤x≤8时，y＝4000－30（8－x）
＝4000－240＋30 x
＝30 x＋3760； 2分
当8＜x≤23时，y＝4000＋50（x－8）
＝4000＋50 x－400
＝50 x＋3600.
∴所求函数关系式为 4分
（2）当x＝16时，
方案一每套楼房总费用：
w1＝120（50×16＋3600）×92%－a＝485760－a； 5分
方案二每套楼房总费用：
w2＝120（50×16＋3600）×90%＝475200. 6分
∴当w1＜w2时，即485760－a＜475200时，a＞10560；
当w1＝w2时，即485760－a＝475200时，a＝10560；
当w1＞w2时，即485760－a＞475200时，a＜10560.
因此，当每套赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算；
当每套赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样；
当每套赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算. 9分
25．解：（1）AF=BE，AF⊥BE. 2分
（2）结论成立. 3分
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF. 4分
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF. 6分
∵∠DAF +∠BAF=90°，
∴∠ABE +∠BAF=90°，
∴AF⊥BE. 9分
（3）结论都能成立. 11分
26．解：（1）解方程组得
∴点B的坐标为（-1，1）. 1分
∵点C和点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（1，-1）. 2分
又∵点A是直线y=-2x-1与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，-1）. 3分
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x-1. 5分
（2）①如图1，∵点P在抛物线上，
∴可设点P的坐标为（m，m2-m-1）.
当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心，
∴PQ⊥BC，即点P，Q在直线y = x上，
∴m = m2-m-1， 7分
解得m = 1±. 8分
∴点P的坐标为（1+，1+）或（1-，1-）. 9分
图1 图2
②方法一：
如图2，设点P的坐标为（t，t2 - t - 1）.
过点P作PD∥y轴，交直线y = - x于点D，则D（t，- t）.
分别过点B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分别为点E，F.
∴PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1，BE + CF = 2， 10分
∴S△PBC＝PD·BE +PD·CF
＝PD·（BE + CF）
＝（- t2 + 1）×2
＝- t2 + 1. 12分
∴＝-2t2+2.
∴当t＝0时，有最大值2. 13分
方法二：
如图3，过点B作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两直线交于点D，连接PD.
∴S△PBC＝S△BDC-S△PBD-S△PDC
＝×2×2-×2（t+1）-×2（t2-t-1+1）
＝-t2+1. 12分
∴＝-2t2+2.
∴当t＝0时，有最大值2. 13分
图3 图4
方法三：如图4，过点P作PE⊥BC，垂足为E，作PF∥x轴交BC于点F.
∴PE=EF.
∵点P的坐标为（t，t2-t-1），
∴点F的坐标为（-t2+t+1，t2-t-1）.
∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1.
∴PE＝（-t2+1）. 11分
∴S△PBC＝BC·PE＝××（-t2+1）
＝-t2+1. 12分
∴＝-2t2+2.
∴当t＝0时，有最大值2.