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济宁市二○一五年高中段学校招生考试
数学试题
第Ｉ卷(选择题 共30分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 的相反数是
A. B. C . D.
2. 化简的结果是
A. B. C. D.
3.要使二次根式有意义，x必须满足
A.x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D.x＞2
4.一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“值”字相对的字是
A．记 B．观
C．心 D．间
5.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为
A.13 B.15 C.18 D.13或18
6.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状是下图中哪一个
A B C D
7．只用下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
8. 解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）
A．2+（x+2）=3（x-1） B．2-x+2=3（x-1）
C．2-（x+2）=3 D． 2-（x+2）=3（x-1）
9.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为
A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米
10.将一副三角尺（在中，∠ACB=，∠B=；在中，∠EDF=，∠E=）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将绕点D顺时针方向旋转角， 交AC于点M，交BC于点N，则的值为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 2014年我国国内生产总值约为636000亿元，用科学计数法表示2014年国内生产总值约为 亿元
12. 分解因式：=
13.甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为 （填＞或＜）
14.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4,5）逆时针旋转90O,得到的点B的坐标为
15.若, ,
,则
三、解答题：本大题共7小题，共55分.
16．(本题满分5分)
计算：
17. (本题满分7分)
某学校初三年级男生共200人，随机抽取10名测量他们的身高为（单位：cm）：
181、176、169、155、163、175、173、167、165、166.
（1）求这10名男生的平均身高和上面这组数据的中位数；
（2）估计该校初三年级男生身高高于170cm的人数；
（3）从身高为181、176、175、173的男生中任选2名，求身高为181cm的男生被抽中的概率.
18. (本题满分7分)
小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元.计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件。
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
19. (本题满分8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.
实践与操作：
根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF.
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明.
20. (本题满分8分)
（_______________________________________________________________________________________________________________________________在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上一点，过点的反比例函数图象与边交于点．
(1) 请用k表示点E,F的坐标；
（2）若的面积为，求反比例函数的解析式.
21. (本题满分9分)
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下题目.如：
在中，若，，，求.
解：在中，
问题解决：
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里.
判断的形状，并给出证明.
乙船每小时航行多少海里？
22.(本题满分11分)
如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y＝x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
(3) 动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.
数学答案
一、选择题：
1、C 2、D 3、B 4、A 5、 A 6、C 7、B 8、D 9、A 10、C
二、填空题：
11、6.36×105；
12、3（2x+y）(2x-y)
13、<
14、（-5,4）
15、-n(n+1)(4n+3)
17.解：（1）这10名男生的平均身高为：
……………2分
这10名男生身高的中位数为：
………………………………………4分
（2）根据题意，从身高为181,176,175,173的男生中任选2名的可能情况为：
（181,176）、（181,175）、（181,173）、（176,175）、（176,173）、（175,173），身高为181cm的男生被抽中的情况（记为事件A）有三种。
所以：……………………………………7分
18、解：（1）设购进甲种服装x件,由题意可知：
80x+60(100-x)≤7500 解得：x≤75
答：甲种服装最多购进75件. ……………3分
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75
W=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3000……………………………………………4分
方案1：当0＜a＜10时，10-a＞0，w随x的增大而增大
所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；…… 5分
方案2：当a=10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；…… ………6分
方案3：当10＜a＜20时，10-a＜0，w随x的增大而减小
所以当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件。…… 7分
19、（1）
（2）猜想：四边形AECF是菱形…………………… 5分
证明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD
∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM
∵∠CAD是△ABC的外角
∴∠CAD=∠B+∠ACB
∴∠CAD=2∠ACB ∴∠CAM=∠ACB
∴AF∥CE
∵EF垂直平分AC ∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=
∴AOF≌△COE ∴AF=CE
在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC ∴四边形AECF是菱形…………………… 8分
20.（1）证明：∵E，F是反比例函数图像上的点，且，,
∴点E坐标为,点F坐标为…………….. 2分
（2）解:由题意知：
………………………………. 4分
.
……………………6分
解得：
∴反比例函数的解析式为……………………………………………8分
21.解：（1）答：是等边三角形. ………1分
证明：如图，由已知，
，，
又，
是等边三角形. …………………………………………………………4分
（2）是等边三角形，，
由已知，.…………5分
，
在中，由正弦定理得：……………………………6分
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．……………8分
答：乙船每小时航行海里．………………………………………………9分
22.(1)解：连接AE.
由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
OA＝＝＝4.
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得，OB＝OA＝4.
OC＝OE＋CE＝3＋5＝8.
∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0).
∵抛物线的顶点为点C，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－8)2.
将点B的坐标代入上解析式，得
＝－4. 故 a＝－.
∴ y＝－(x－8)2.
∴ y＝－x 2＋x－4 为所求抛物线的解析式. ……………3分
(2) 在直线l的解析式y＝x＋4中，令y＝0，得＝x＋4＝0，解得 x＝－，
∴点D的坐标为(－，0)；
当x＝0时，y＝4，所以点A在直线l上.
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵ ＝，＝，∴ ＝.
∵ ∠AOE＝∠DOA＝90°，∴ △AOE∽△DOA. ∴ ∠AEO＝∠DAO.
∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴ ∠DAO＋∠EAO＝90°. 即 ∠DAE＝90°.
因此，直线l与⊙E相切于点A. ………………………………………………………7分
(3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M.
设M(m，m＋4)，P(m，－m 2＋m－4). 则
PM＝m＋4－(－m 2＋m－4)＝m 2－m＋8＝(m－2)2＋.
当m＝2时，PM取得最小值.
此时，P(2，－).
对于△PQM，∵ PM⊥x轴，∴ ∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°，
∴ △PQM的三个内角固定不变.
∴ 在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变.
∴ 当PM取得最小值时，PQ也取得最小值.
PQ最小＝PM最小·sin∠QMP＝PM最小·sin∠AEO＝×＝.
所以，当抛物线上的动点P的坐标为 (2，－)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为.………………………………………………………………………11分