2015年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷
数学
考生注意：1、本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟。
2、本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。直接在试卷上作答无效。
选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．计算的结果是（ D ）．
A．-3 B．1 C．-1 D．3
2．下列计算正确的是（ A ）．
A． B． C． D．
3．如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（ C ）．
A． B． C． D．
4．若分式的值为0，则的值为（ C ）．
A．2或-1 B．0 C．2 D．-1
5．函数中自变量的取值范围为（ B ）．
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ B ）．
A． B． C． D．
7．已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（ D ）．
A．11 B．16 C．17 D．16或17
8．若关于的方程有一个根为-1，则另一个根为（ B ）．
A．-2 B．2 C．4 D．-3
9．下列命题是真命题的是（ A ）．
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）．
A．50元，30元 B．50元，40元 C．50元，50元 D．55元，50元
11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ B ）．
A． B． C． D．
12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔
顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶
端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ C ）．
A． B．51
C． D．101
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．）
13．在-1，0，-2这三个数中，最小的数是-2．
14．如图，已知直线∥，∠1＝120°，则∠2的度数是60°．
15．计算：．
16．方程的解为．
17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留）．
18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O 处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为40m．
19．已知，，则的值为-3．
20．如图，△，△，△，…，△，都是等腰直角三角
形．其中点，，…，在轴上，点，，…，，在直线上．
已知，则的长为．
解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（本小题满分6分）先化简，再求值
，其中，．
解：原式＝
＝
∵，
∴＝＝4．
22．（本小题满分6分）
为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为40%．
（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有16人．
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有128人．
23．（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，
点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
解：（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角为90°；
②点B2的坐标为（6，2）．
24．（本小题满分6分）
某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
解：画树状图如下所示：
第一名主持人： 男① 男② 女① 女②
第二名主持人：男② 女① 女② 男① 女① 女② 男① 男② 女② 男① 男② 女①
共有12种可能出现的结果，其中“恰好为一男一女”的有8种；
∴P＝＝．
25．（本小题满分8分）
某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度（微克/毫升）与服药时间小时之间的函数关系如图所示（当时，与成反比）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
解：（1）由图象可知，当时，与成正比例关系，设．
由图象可知，当时，，∴，解得：；
∴
又由题意可知：当时，与成反比，设．
由图象可知，当时，，∴；
∴
即：血液中药物浓度上升时；血液中药物浓度下降下．
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：
∴且，解得且；
∴，即持续时间为6小时．
26．（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
解：（1）证明：连接OD，∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴∠BOC＝∠BOD
又∠BAD＝∠BOD
∴∠BOC＝∠BAD
∴AE∥OC
∵AD⊥EC
∴OC⊥EC
∴CE为⊙O的切线．
（2）四边形AOCD是菱形；理由如下：
∵点C、D为半圆O的三等分点
∴∠AOD＝∠COD＝60°
∵OA＝OD＝OC
∴△AOD和△COD都是等边三角形
∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD
∴四边形AOCD是菱形．
27．（本小题满分10分）
如图，顶点M在轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．
若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），
当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？
解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点
∴．
28．（本小题满分10分）
如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝．
（1）求点M的坐标（用含的代数式表示）；
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；
（3）当为何值时，四边形BNDM的面积最小．
解：（1）如图，作ME⊥轴于点E，则∠MEP＝∠POC＝90°
∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°；
∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°
∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP
∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝
∴OE＝4＋； ∴点M的坐标为（4＋，）．
（2）线段MN的长度不变．理由如下：
由题意知：OA＝OB＝4，∴点B坐标为（4，4），∴直线OB的解析式为
∵MN∥OA，点M为（4＋，），点N的坐标为（，）
∴MN＝＝4，即线段MN的长度不变．
（3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°
∴△DAP∽△POC，∴，
∵OP＝，OC＝4，∴AP＝4－
∴，∴AD＝ ，
∴BD＝＝
∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD
∵S四边形BNDM＝
∴S＝
∵，∴S有最小值，
且当时，S最小值＝6．