龙岩市2015初中毕业考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（容易题）1．数轴上到原点的距离等于1的点所表示的数是（ ）．
A． B．0 C．1 D．－1
（容易题）2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
（容易题）3. 下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；
③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．
其中确定事件的个数是（ ）．
A． B． C． D．
（容易题）4．为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查.根据调查数据决定最终买什么水果应参照的统计量是（ ）．
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
（容易题）5. 下列计算中，正确的是（ ）．
A．a＋a11＝a12 B．5a－4a＝a C．a6÷a5＝1 D．(a2)3＝a5
（容易题）6．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）．
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
（容易题）7．如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）．
A．∠1=∠C B．∠A=∠C
C．∠2=∠B D．
（容易题）8．已知两点、在反比例函数的图象上，当时，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
（中等题）9．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
（稍难题）10．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线．小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要（ ）分才能保证一定出线．【注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场】
A．7 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
（容易题）11．-2015的倒数是 ．
（容易题）12. 小明“六·一”去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖品（飞镖盘被平均分成8份），小明能获得奖品的概率是 ．
（容易题）13．已知、为两个连续的整数，且，则 .
（容易题）14．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是 ．
（中等题）15．如图，在小山的东侧点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成角的方向飞行，25分钟后到达处，此时热气球上的人测得小山西侧点的俯角为，则小山东西两侧，两点间的距离为 米．
（稍难题）16．设表示大于的最小整数，如＝4，＝－1，则下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
① ； ② 的最小值是0；
③ 的最大值是1； ④ 存在实数，使＝0.5成立.
三、解答题：本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（容易题）17．（6分）计算：．
（容易题）18．（6分）先化简，再求值：， 其中．
（容易题）19．（6分）求不等式组的正整数解.
（容易题）20．（6分）解分式方程：．
（容易题）21．（8分）如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF. 求证：四边形BCFE是菱形.
（容易题）22.（8分）果农老张进行桃树科学管理试验．把一片桃树林分成甲、乙两部分，甲地块用新技术管理，乙地块用老方法管理，管理成本相同．在甲、乙两地块上各随机选取40棵桃树，根据每棵树的产量把桃树划分成五个等级（甲、乙两地块的桃树等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：
（1）补齐直方图，求的值及相应扇形的圆心角度数；
（2）选择合适的统计量，比较甲乙两地块的产量水平，并说明试验结果；
（3）若在甲地块随机抽查1棵桃树，求该桃树产量等级是级的概率．
（中等题）23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=.
求证：CD是⊙O的切线.
24．（10分）小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．
小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
【利润=（销售价－进价）销售量】
（容易题）（1）请根据他们的对话填写下表：
（容易题）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（中等题）（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x之间的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？
25.（12分）数学活动——求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，顶点与边的中点重合．
（中等题）（1）若经过点，交于点，求重叠部分（）的面积；
（稍难题）（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点旋转，使交于点，交于点，如图2，求重叠部分（）的面积．
26.（14分）如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点，是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H， PH交x轴于Q．
（1）【探究】
（容易题）① 填空：当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ；
（中等题）② 对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（2）【应用】
（中等题）① 当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标；
（稍难题）②如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．D ； 9．C ； 10．A ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．抽样调查 ；12．； 13．7 ； 14．4 ； 15．； 16．③ ④ ．
三、解答题：本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．解：原式=1-2×1+2
=1
18．解：原式＝
＝
当时，原式＝
19．解：由①得
由②得
则不等式组的解集为
∴此不等式组的正整数解为1，2，3，4
20．解法一：原方程化为
∴
解得 x＝
经检验，x＝是原分式方程的解．
∴原方程的解是x＝
解法二：原方程化为
（以下与解法一相同）
21.证明：、是、的中点，
又.
四边形是菱形.
22.解：（1）画直方图：略
，相应扇形的圆心角为：．
（2），
．
，由样本估计总体的思想，说明通过新技术管理甲地块桃树平均产量高于乙地块桃树平均产量．
（3）．
23．证明：连接OD，由题意可知CD=OD=OA=AB=2
∴OD2+CD2=OC2
∴△OCD为直角三角形，则OD⊥CD
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线
24．解：（1）300，250，150
（2）判断：y是x的一次函数
设y=kx+b，∵x=10，y=300；x=11，y=250，∴，解得
∴y=－50x+800
经检验：x=13，y=150也适合上述关系式，∴y=－50x+800
（3）W=(x－8)y
=(x－8)(－50x+800)=－50x2+1200x－6400
∵a=－50<0，∴当x=12时，W的最大值为800
即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元
25. 解：（1）∵，是的中点，
∴ ∴
又∵，∴
∴∴
∴∴
又∵，∴是的中点．
∴
∴
（2）∵，∴
∵∴
∴∴∴
∵
∴∴∴
∴点为的中点
在中，
∵是中点，∴
在与中，∵
∴
∴∴，∴
∴
26.解：（1）① 填空：当m=0时，OP= 1 ，PH= 1 ；当m=4时，OP= 5 ，PH= 5 ；
② 猜想：OP=PH．
证法一：∵P在二次函数上，∴﹣1，即.
∵，
∴，∴OP=PH．
证法二：∵P在二次函数上，∴设P（m，﹣1），
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP
PH=﹣（﹣2）=，
∴OP=PH．
（2）①依题意，由（1）知PH=OP，∴△OPH是等边三角形，∠OHP=60°，
∵△OQH为直角三角形，∴∠HOQ=30°
解法一：不妨设m＞0，在Rt△OHQ中，，∴，解得 .
根据抛物线的对称性，
∴满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．
解法二：在Rt△OHQ中，OH=2HQ=2×2=4，
由PH=OH，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴=×12-1=2，
∴满足条件的点P的坐标为（，2）或（-，2）．
②如图2，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为C、D，由（1）知OB=BD，OA=AC.
当AB不过O点时，连接OA，OB，
在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．
当AB过O点时，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．
综上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，
即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．