四川省内江市2016年中考数学试卷（解析版）
A卷(共100分)
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．－2016的倒数是( )
A．－2016 B．－ C． D．2016
[答案]B
[考点]实数的运算。
[解析]非零整数n的倒数是，故－2016的倒数是=－，故选B．
2．2016年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了9180 000人次，将9180 000用科学记数法表示应为( )
A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107
[答案]C
[考点]科学记数法。
[解析] 把一个大于10的数表示成a×10n(1≤a＜10，n是正整数)的形式，这种记数的方法叫科学记数法．科学记数法中，a是由原数的各位数字组成且只有一位整数的数，n比原数的整数位数少1．故选C．
3．将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )
A．75° B．65° C．45° D．30°
[答案]A
[考点]三角形的内角和、外角定理。
[解析]方法一：∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°，45°，∴∠1＝180°－(60°＋45°)＝75°．
方法二：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
故选A．
4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
[答案]A
[考点]中心对称与轴对称图形。
[解析]选项B中的图形是轴对称图形，选项C中的图形是中心对称图形，选项D中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形．只有选项A中的图形符合题意．
故选A．
5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )
[答案]B
[考点]三视图。
[解析]
故选B．
6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
[答案]D
[考点]二次根式与分式的意义。
[解析]欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．故选D．
7．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的( )
A．最高分 B．中位数 C．方差 D．平均数
[答案]B
[考点]统计。
[解析]这里中位数是预赛成绩排序后第13名同学的成绩，成绩大于中位数则能进入决赛，否则不能．
故选B．
8．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
[答案]A
[考点]分式方程，应用题。
[解析]依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
故选A．
9．下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
[答案]C
[考点]特殊四边形的判定。
[解析]满足选项A或选项B中的条件时，不能推出四边形是平行四边形，因此它们都是假命题．由选项D中的条件只能推出四边形是菱形，因此也是假例题．只有选项C中的命题是真命题．
故选C．
10．如图2，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为( )
A．π－4 B．π－1 C．π－2 D．π－2
[答案]C
[考点]同弧所对圆心与圆周角的关系，扇形面积公式、三角形面积公式。
[解析]∵∠O＝2∠A＝2×45°＝90°．
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝－×2×2＝π－2．
故选C．
11．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )
A． B． C． D．不能确定
[答案]B
[考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。
[解析]如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则
BH＝，AH＝＝．
连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．
∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH．
∴PD＋PE＋PF＝AH＝．
故选B．
12．一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )
A．()2015 B．()2016 C．()2016 D．()2015
[答案] D
[考点]三角形的相似，推理、猜想。
[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°．
∴B2C2＝C1D1·30°＝．∴C2D2＝．
同理，B3C3＝C2D2·30°＝()2；
由此猜想BnCn＝()n－1．
当n＝2016时，B2016C2016＝()2015．
故选D．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．分解因式：ax2－ay2＝______．
[答案]a(x－y)(x＋y)．
[考点]因式分解。
[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解．
原式＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x＋y)．
故选答案为：a(x－y)(x＋y)．
14．化简：(＋)÷＝______．
[答案]a．
[考点]分式的化简。
[解析]先算小括号，再算除法．
原式＝(－)÷＝÷＝(a＋3)·＝a．
故答案为：a．
15．如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．
[答案]
[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。
[解析]∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．
∴BC＝＝5．
∵S△OBC＝OB·OC，又S△OBC＝BC·OE，
∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．
∴OE＝．
故答案为：．
16．将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．(用含n的代数式表示)
[答案] n2＋n＋4
[考点]规律探索。
[解析]每个图由外围的4个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知
第1个图中小圆的个数＝1×2＋4，
第2个图中小圆的个数＝2×3＋4，
第3个图中小圆的个数＝3×4＋4，
……
第n个图中小圆的个数＝n(n＋1)＋4＝n2＋n＋4．
故答案为：n2＋n＋4．
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17．(7分)计算：|－3|＋·30°－－(2016－π)0＋()－1．
[考点]实数运算。
解：原式＝3＋×－2－1＋2 5分
＝3＋1－2－1＋2 6分
＝3． 7分
18．(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
[考点]三角形例行，特殊四边形的性质与判定。
(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∴△EAF≌△EDC． 3分
∴AF＝DC．
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点． 5分
(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形． 7分
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∴□AFBD是矩形． 9分
19．(9分)某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图7(1)，图7(2))，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有_______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．
[考点]统计图、概率。
解：(1)由扇形统计图可知：扇形A的圆心角是36°，
所以喜欢A项目的人数占被调查人数的百分比＝×100%＝10%． 1分
由条形图可知：喜欢A类项目的人数有20人，
所以被调查的学生共有20÷10%＝200(人)． 2分
(2)喜欢C项目的人数＝200－(20＋80＋40)＝60(人)， 3分
因此在条形图中补画高度为60的长方条，如图所示．
4分
(3)画树状图如下：
或者列表如下：
分 7
从树状图或表格中可知，从四名同学中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲乙两位同学(记为事件A)有2种结果，所以
P(A)＝＝． 9分
20．(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．
[考点]三角函数、解决实际问题。
解：如图，过点C作CH⊥AB于H，则△BCH是等腰直角三角形．设CH＝x，
则BH＝x，AH＝CH÷30°＝x． 2分
∵AB＝200，∴x＋x＝200．
∴x＝＝100(－1)． 4分
∴BC＝x＝100(－)． 6分
∵两船行驶4小时相遇，
∴可疑船只航行的平均速度＝100(－)÷4＝45(－)． 8分
答：可疑船只航行的平均速度是每小时45(－)海里． 9分
21．(10分)如图9，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．
[考点]切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。
(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OB，∵BD是△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC．
∴∠DBC＝∠C．
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED．
∵∠C＋∠CED＝90°，
∴∠DBC＋∠OBE＝90°．
∴BD与⊙O相切； 3分
(2)连接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝．
∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝．∴BC＝1＋． 4分
∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠DFA．
又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE，
∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋． 5分
∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋)2＝4＋2． 6分
∴S⊙O＝π·EF2＝π． 7分
(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°．
∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°． 8分
∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°．
∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°．
∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°．
∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋． 9分
∴GH＝BH－BG＝．
∴HB·HG＝×(1＋)＝2＋． 10分
B卷
一、填空题(每小题6分，共24分)
22．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
[答案]
[考点]解不等式组，概率。
[解析]不等式组的解集为－＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．
所以所求概率P＝＝．
故答案为：．
23．如图10，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于______．
[答案]
[考点]反比例函数，三角形的面积公式。
[解析]设点A的坐标为(a，)．
∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为．
将y＝代入y＝，求得x＝．
∴AB＝－a＝．
∴S△OAB＝··＝．
故答案为：．
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．
[答案]P＞Q
[考点]二次函数的图象及性质。
[解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－．
∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c．
由图象可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0．
∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c．
∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0，
Q＝b－2a－(3b＋2c)＝－(b＋2c)＜0．
∴P＞Q．
故答案为：P＞Q．
25．如图12所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．
[答案]10
[考点]勾股定理，对称问题。
[解析]作点C关于y轴的对称点C1(－1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时△CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长．
∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°．
∵AB垂直平分CC2，
∴∠CBC2＝90°，C2的坐标为(7，6)．
在△C1BC2中，C1C2＝＝＝10．
即△CDE周长的最小值是10．
故答案为：10．
二、解答题(每小题12分，共36分)
26．(12分)问题引入：
(1)如图13①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)；如图13②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝______(用α表示)．
(2)如图13③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．
[考点]三角形的内角和，猜想、推理。
解：(1)第一个空填：90°＋； 2分
第一个空填：90°＋． 4分
第一空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋．
第二空的过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋．
(2)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝120°－． 8分
(3)答案：120°－．过程如下：
∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(180°＋∠A)＝·180°－． 12分
27．(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
[考点]应用题，一元二次方程，二次函数。
解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分
解得x1＝3，x2＝12． 4分
(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．
①当x＝时，S有最大值，S最大＝； 6分
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． 8分
(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10． 10分
∴x的取值范围是5≤x≤10． 12分
28．(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
[考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。
解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组有且只有一组解． 2分
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4． 4分
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴＝．
同理，＝．
∵＋＝，∴＋＝2．
∴＋＝2．
∴＋＝，即＝． 5分
解方程组得x＝，即PD＝． 6分
由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4． 7分
∴＝．
解得b＝8． 8分
(3)不存在．理由如下： 9分
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，
∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．
解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ． 12分