梅州市2016年初中毕业生学业考试
数 学 试 卷
参考公式：抛物线的对称轴是直线，顶点是．
一、选择题：每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．
1．计算（﹣3）+4的结果是
A． ﹣7 B． ﹣1 C． 1 D． 7
答案：C
考点：实数运算。
解析：原式＝－3＋4＝4－3＝1，选C。
2．若一组数据3，，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
考点：众数和中位数的概念。
解析：因为众数为3，所以，x＝3，原数据为：3，3，4，5，6，所以，中位数为4。
3．如图，几何体的俯视图是
答案：D
考点：三视图。
解析：俯视图是物体上方向下做正投影得到的视图，上方向下看，看到的是D。
4．分解因式 结果正确的是
A． B． C． D．
答案：A
考点：因式分解，提公式法，平方差公式。
解析：原式＝＝
5．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于
A．55° B．45° C．35° D．25°
答案：C
考点：三角形内角和定理，两直线平行的性质定理。
解析：∠A＝90°－55°＝35°，因为CD∥AB，所以，∠1＝∠A＝35°。
6．二次根式有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
答案：D
考点：二次根式的意义。
解析：由二次根式的意义，得：，解得：
7．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运
算．例如：．则方程的解是
A． B． C． D．
答案：B
考点：考查学习新知识，应用新知识解决问题的能力。
解析：依题意，得：，所以，原方程化为：＝－1，
即：＝1，解得：x＝5。
二、填空题：每小题3分，共24分．
8．比较大小：﹣2______﹣3．
答案：＞
考点：实数大小的比较。
解析：两个负数比较，绝对值较大的数反而小，因为｜－2｜＜｜－3｜，所以，－2＞－3。
9．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装
有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有_______个．
答案：15
考点：概率的计算。
解析：设小球共有x个，则，解得：x＝15。
10．流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万用科学记数法表示为__________________________．
答案：
考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表示形式为形式，其中，n为整数，6880万＝68800000＝。
11．已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是____________________．
答案：
考点：平面直角坐标，解不等式组。
解析：因为点P在第二象限，所以，，解得：
12．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为cm，则可列方程为 _____________．
答案：
考点：矩形的面积，列方程解应用题。
解析：矩形的一边长为cm，则另一边长为，因为矩形的面积为64cm2，
所以，
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，
则________．
答案：4
考点：平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的相似的判定与性质。
解析：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，
所以，，，所以，＝1，
又，所以，4。
14．如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD
是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_________．
答案：；（写对一个给2分）
考点：二次函数的图象，等腰三角形的性质，一元二次方程。
解析：依题意，得C（0,3），因为三角形PCD是等腰三角形，所以，点P在线段CD的垂直平分线上，
线段CD的垂直平分线为：y＝2，解方程组：，即：，
解得：，所以，点P的坐标为
15．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标[来为______________．
答案：（6048，2）
考点：坐标与图形的变换—旋转，规律探索，勾股定理。
解析：OA＝，OB＝2，由勾股定理，得：AB＝，所以，OC2＝2＋＋＝6，
所以，B2（6,2），同理可得：B4（12,2），B6（18,2），…
所以，B2016的横坐标为：10086＝6048，所以，B2016（6048,2）
三、解答下列各题：本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．
16. 本题满分7分．
计算：．
考点：实数运算，三角函数。
解析：原式= ………………………4分
= ………………………6分
=1． ………………………7分
17. 本题满分7分．
我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将
从中挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如下：
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的值为_____________，的值为______________；（直接填写结果）
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1、A2、A3……表示．现该校决定从本
次参赛作品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到
学生A1和A2的概率为____________．（直接填写结果）
考点：频率、概率的计算。
解析：（1）＝0.08×50＝4，＝0.68 ；
（2）A等级共有4人，抽取两名学生，可能的结果有：A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，
共6种可能，恰好抽到学生A1和A2的概率为
18. 本题满分7分．
如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB
长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆
心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．
四边形ABEF是_______；（选填矩形、菱形、
正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为________，∠ABC=________°．（直接填写结果）
考点：角平分线的画法，菱形的判定及其性质，勾股定理。
解析：（1）菱形
（2）依题意，可知AE为角平分线，因为ABEF的周长为40，所以，AF＝10，
又FO＝5，AO＝＝，所以，AE＝，
，所以，∠ABO＝120°，∠ABC＝120°。
19. 本题满分7分．
如图，已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．
（1）求和的值；
（2）设反比例函数值为，一次函数值为，求时的取值范围．
考点：反比例函数，一次函数的图象及其性质。
解析：（1）把A（2，5）分别代入和，
得， ……………2分（各1分）
解得，； ………………………3分
（2）由（1）得，直线AB的解析式为，
反比例函数的解析式为． ……………………………4分
由，解得：或 ． ……………………………5分
则点B的坐标为．
由图象可知，当时，x的取值范围是或． ………7分
20. 本题满分9分．
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在
⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
考点：圆的切线的判定，扇形的面积公式，三角函数。
解析：（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠CAD=∠D=30°． ………………………2分
∵OA=OC，
∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ） ……………3分
∴∠OCD=∠ACD —∠ACO=90°，即OC⊥CD．
∴CD是⊙O的切线． ………………………4分
（2）解：由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ），
∴∠1=60°．（或∠COD =60°） …………………5分
∴． ………………………6分
在Rt△OCD中，∵，
∴． ………………………7分
∴ ，…………………8分
∴图中阴影部分的面积为 ． …………………9分
21. 本题满分9分．
关于的一元二次方程有两个不等实根、．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程两实根、满足，求的值．
考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系。
解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴， ……………………3分
解得： ． ……………………4分
（2）由根与系数的关系，得， ． ……………6分
∵，
∴，
解得：或， ………………………8分
又∵，
∴． ………………………9分
22. 本题满分9分．
如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F
分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1
时，求AE的长．
考点：平行四边形的性质，三角形例行的判定，两直线平行的性质。
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， ………………………1分
∴∠OBE =∠ODF． ………………………2分
在△OBE与△ODF中，
∵
∴△OBE≌△ODF（AAS）．………………………3分
∴BO=DO． ………………………4分
（2）解：∵EF⊥AB，AB ∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°． …………………5分
∴AE=GE ……………6分
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°． ……………7分
∴DG=DO
∴OF=FG= 1 ……………8分
由（1）可知，OE= OF=1
∴GE=OE+OF+FG=3
∴AE=3 ……………9分
(本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
23. 本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，
动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点
A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每
秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒
（0），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？
并求出最小值．
考点：三角形的面积，三角形相似的性质，二次函数的图象及其性质。
解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴，． ………………………1分
由题意知，，，
由BM=BN得，………………………2分
解得：．………………………3分
（2）①当△MBN∽△ABC时，
∴，即，解得：．…………5分
②当△NBM∽△ABC时，
∴， 即，解得：．
∴当或时，△MBN与△ABC相似．………………………7分
（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：．……………8分
设四边形ACNM的面积为，
∴
……………9分．
∴根据二次函数的性质可知，当时，的值最小．
此时，………………………10分
24. 本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐
标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．
（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
考点：二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力。
解析：（1），， ．
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵OA=OC，∠AOC =90°
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1 =90°-45°=45°=∠C P1M．
∴MC=MP1．………………5分
由（1）可得抛物线为．
设，则，
解得：（舍去），．
∴．
则P1的坐标是． ………………………6分
第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F．
∴P2N∥x轴．
由∠CAO=45°，
∴∠OAP2=45°．
∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．
∴P2N=NF．
设，则．
解得：（舍去），．
∴，
则P2的坐标是．
综上所述，P的坐标是或．………………………7分
(本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．……………8分
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴ D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴．
∴点P的纵坐标是．………………9分
则， 解得：．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．
……………10分