2023年呼和浩特市中考试卷
数学
注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．
2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
3．本试卷满分120分．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质和余角的定义．掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断．
【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
4. 下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意可得，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：①当时，，
一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；
②当时，，
一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限．
7. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据题意，连接，记与交于点，先证，从而得，再由线段垂直平分从而，又在中可得的值，从而再在中可求得．
【详解】解：由题意，连接，记与交于点．
线段垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
在中，
．
在中可得，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
8. 如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ）
A. 13 B. C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
【详解】解：如图，连接．
在中，，
，点为边上的中点，
，，，．
．
，，
，．
．
又，，
．
，．
在中，．
在中，．
又在中，，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
10. 关于的二次函数的结论
①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
②若图象过点，点，点，则当时，．
③若，对应的的整数值有个，则或．
④当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．
【详解】解：①∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵，，
∴，即和关于直线对称，
∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把代入得： ，
解得：，
∴二次函数表达式为，
∵，该函数的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
∴，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴当时，，当时，，
当时，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，对应的的整数值有个，
∴四个整数解为：，
∴，解得：，
当时，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，对应的的整数值有个，
∴四个整数解为：，
∴，解得：，
综上：或，故③正确，符合题意；
④当且时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，，解得：，
∴，
当时，，
解得：，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11. 分解因式________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式．
12. 圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是________度，该圆锥的侧面积是________（结果用含的式子表示）．
【答案】 ①. 120 ②.
【解析】
【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径，
∴该圆锥底面周长，
∵圆锥母线长为3，
∴该圆锥的侧面展开图的半径为3，
∴，解得：，
即展开图（扇形）的圆心角是120度，
圆锥的侧面积，
故答案：120，．
【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长，扇形面积．
13. 某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示．观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差________．（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的意义结合图形判断即可．
【详解】解：观察折线统计图可以发现，乙厂家15罐奶粉质量的波动较甲厂家15罐奶粉质量的波动大，所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查折线统计图，方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键．
14. 如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则________，________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：内接于且，
为的直径，
，
，
弦平分，
，
，
，，
，，
如图把绕逆时针旋转得到，
，，
，
、、三点共线，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为：，．
【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性．
15. 甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为________km/h．
【答案】6
【解析】
【分析】设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
【详解】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得：
，
解得，
经检验符合题意，
答：江水的流速．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
16. 如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则________，________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】如图，证明，得到，勾股定理求出长，等积法求出的长，证明，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵正方形的边长为，点是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2，．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题的综合形较强，属于中考填空题中的压轴题．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及去绝对值，负整数指数幂，化最简二次根式，特殊角的三角函数值．还考查解一元一次不等式组．掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
18. 如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】
【解析】
【分析】过作于，求出，，在中可得，可得两地间距离的长为．
【详解】解：过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
两地间距离的长为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
19. 3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
（1）本次调查一共随机抽取了________名学生的成绩，频数分布直方图中________；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
【答案】（1）40，7，作图见解析；
（2）B； （3）851人．
【解析】
【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出样本的总人数，再用总人数D等级所占的百分比求出m，求出B等级的人数补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）先求出优秀所占的百分比，再与总数相乘即可．
【小问1详解】
解：本次调查一共抽取了（名）；（人）；
B等级的人数为（人）；
补全统计图如图所示．
故答案为：40，7；
【小问2详解】
解：一共有40人，中位数是第20，21个数的平均数，所以中位数落在B等级；
故答案为：B；
【小问3详解】
解：（人）．
所以成绩优秀的学生有851人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图（表），扇形统计图，中位数，样本估计总体的思想等，弄清频数分布直方图和扇形统计图之间的关系是解题的关键．
20. 如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出，得到，判定四边形是平行四边形，推出，得到．
（2）由菱形的性质得到，，推出四边形的菱形，由平行线的性质得到，判定是等边三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由，得到，判定四边形是平行四边形；证明四边形是菱形．
21. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【答案】（1）点E在该反比例函数的图象上，理由见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据正六边形的性质得出，，则，，得出，，
连接，推出为等边三角形，得出，则反比例函数表达式为把，代入，求出，即可解答；
（2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直线的解析式，根据图象，找出直线位于双曲线上方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵六边形为正六边形，，
∴，，
∴，，
∴，，
连接，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数表达式为．
∵为等边三角形，
∴点E和点A关于对称，
∴，
把代入得：，
∴点E在该反比例函数的图象上；
【小问2详解】
解：把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，，
∴由图可知，当时，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质．
22. 学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用多少？
【答案】（1）参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
（2）6 （3）学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【解析】
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【小问1详解】
解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，
解得：，
∴，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
【小问2详解】
解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
【小问3详解】
解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，
，
解得：，
∵a为整数，
∴或，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用y元，
，
∵，
∴y随a的增大而增大，
∴当时，y最小，，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
23. 已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
①当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
；
综上所述，的长为或；
②设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
24. 探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下
其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4，图见解析，图象关于轴对称
（2）或或
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；
（2）利用，进行求解即可．
（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点的坐标，进而求出直线的解析式，设直线的解析式为，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，分别联立直线和直线的解析式，求出的坐标，利用锐角三角形函数求出的长，再进行求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：
由图象可知：图象关于轴对称；
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时：，
解得：，
∴或，
当时：，
解得：，
∴；
综上：或或；
【小问3详解】
是定值；
∵，当时，，解得：，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，，
∵点是点关于抛物线顶点的对称点，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
设直线：，
联立和，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
联立，，得：，
联立，，得：，
如图：∵关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作，过点作，
则：，
∴，
∴
；
∴与的和为定值：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．解题的关键是掌握描点法画函数图象，利用数形结合的思想进行求解．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．