2023年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据具有相反意义的量即可得．
【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，
故选：C．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．
2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长．
【详解】解：∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
3. 某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（ ）
A. 22cm B. 22.5cm C. 23cm D. 23.5cm
【答案】D
【解析】
【分析】进货量最多的应该是销量最多的，故求出众数即可．
【详解】专卖店进货量最多的应该是销量最多的，根据条形统计图可得，众数是，故下次进货最多的女鞋尺码是；
故选：D
【点睛】本题考查众数的意义，理解众数是解题的关键．
4. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
5. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，
由图可知，，，
.
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.
7. 若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
8. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．
【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
9. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
10. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴
即
解得：或，
当时，如图所示，
依题意，当时，，
解得：，
当时，，解得，
即，
当时，
当时，，
解得：
∴
综上所述，或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11. 若分式的值为0，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的值为0，得到，求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不能为零．
12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有________个．
【答案】6
【解析】
【分析】设袋中红球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球有x个，
由题意得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴袋中红球有6个，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率红球数量球的总数是解题的关键．
13. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杜杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【答案】100
【解析】
【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答．
【详解】解：设动力为，
根据阻力阻力臂动力动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程，解得，
当动力臂在2m时，可得方程，解得，
，故节省100N的力，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
15. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可．
【详解】解：，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
16. 如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是________（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；先解直角三角形可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确．
【详解】解：是等边三角形，且，
，，
由折叠的性质得：，
，是定值，则结论①正确；
当时，则，
在中，，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，则结论②正确；
如图，当点与重合时，
，
，
由折叠性质得：，
，，
，
，则结论③错误；
当最短时，则，
如图，过点作于点，连接，交于点，
，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，则结论④正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先用平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项进行化简，最后代入求值．
【详解】
当时
原式
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式、整式的化简求值，熟练进行整式的化简是解题的关键．
18. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案．
（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
【小问2详解】
证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
19. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．
（1）已知该班有15人参加A类活动，则参加C类活动有多少人？
（2）该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和1名男生的概率．
【答案】（1）10人 （2）
【解析】
【分析】（1）根据A类人数及占比得出总人数，然后乘以C所占比例即可；
（2）令王丽为女1，另外的女生为女2，男生分别为男1，男2，根据画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：这次被调查的学生共有（人）
参加C类活动有：（人）
∴参加C类活动有10人；
【小问2详解】
解：令王丽为女1，另外的女生为女2，男生分别为男1，男2，
画树状图为：
共有12种等可能结果，符合题意的有4种，
∴恰好选中王丽和1名男生的概率为：
【点睛】本题主要考查了扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为
（2）M点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【小问1详解】
解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
经检验，是方程解，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
22. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：
由（1）得，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴,
∴即，
解得：，
∴．
【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23. 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】
【答案】（1），
（2）元，
（3）当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；
（3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
，
∵，
∴当时，随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
【小问3详解】
解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；
综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
24. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论；
（2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论；
（3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．
【小问1详解】
证：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，即：，
在与中，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图所示，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键．
25. 如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）或或
（3）定值，理由见详解
【解析】
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
【小问3详解】
解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．