淄博市2023年初中学业水平考试
数学试题
本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．
4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5.评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的运算结果等于（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B；
【点睛】本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数．
2. 在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别确定各几何体的三视图，从而得解．
【详解】A. ，主视图、左视图和俯视图分别为长方形，长方形，长方形，三长方形大小不一定相同，故本选项不合题意；
B. ，主视图、左视图和俯视图分别是长方形，长方形，圆，故本选项不合题意；
C. ，主视图、左视图和俯视图分别是三角形，三角形，圆，故本选项不合题意；
D. ，主视图、左视图和俯视图分别是圆，圆，圆，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查常见几何体的三视图；掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则即可解答．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
故项符合题意；
∵与是同类项，
∴，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了整式的加法法则，整式的减法法则，整式的乘法法则，整式的除法法则，掌握对应法则是解题的关键．
4. 将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质；由平行线的性质得到等角是解题的关键．
5. 已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
6. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
【详解】解：由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
7. 为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D；
【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．
8. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
9. 如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接,
∵,
∴
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴ ,
∵，,
∴,
，
∴,
∵
，
，
即的半径为 ，
故选: .
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解．
【详解】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
，
则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
11. 25的平方根是_____．
【答案】±5
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
12. 在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是________．
【答案】6
【解析】
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6；
故答案为：6
【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．
13. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
14. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】设，则，将三角形面积用代数式形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：依题意，设，则，
则
∴
∵，二次函数图象开口向下，有最大值，
∴当时面积的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为________米（结果精确到米）．
【答案】19.2米
【解析】
【分析】如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则四边形为矩形，可得米，，．于是．解，得，从而（米），解中，（米）．于是（米）．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为G，
则四边形为矩形，
∴米，．
∴．
∴．
中，，（米）．
∴（米）．
中，，
∴（米）．
∴（米）．
故答案为：19.2米．
【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函数求解线段是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【解析】
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
17. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；
（2）用证明即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
18. 若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
【答案】点在第一象限或点在第二象限
【解析】
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可．
【详解】解：
或
，；
，
解得：；
∴当，时，，，点在第一象限；
当，时，，，点在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．
19. 举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
学生成绩频数分布直方图
学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的________，________；
（2）学生成绩数据的中位数落在________组内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
【答案】（1）40，80
（2），72
（3）见解析 （4）1050
【解析】
【分析】（1）由题意知，共调查（人），根据，计算可得值，根据，计算求解即可；
（2）根据中位数为第100，101位的数的平均数，进行判断即可，根据，计算求解即可；
（3）补全统计图即可；
（4）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，共调查（人），
∴（人），
∴（人），
故答案为：40，80；
【小问2详解】
解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数，
∵，，
∴中位数落在组内，
∴，
故答案为：，72；
【小问3详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问4详解】
解：∵（人），
∴估计成绩高于90分的学生人数为1050人．
【点睛】本题考查了条形统计图，频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息．
20 如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【小问1详解】
将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
∵直线向下平移至,
∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
【小问3详解】
由图可知时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
21. 某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
*题中的团队人数均不少于10人
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
【答案】（1）甲团队有48人，乙团队有54人
（2）18
【解析】
【分析】（1）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设甲团队有人，则乙团队有人，
依题意得，，
解得，，
∴（人），
∴甲团队有48人，乙团队有54人；
小问2详解】
解：设甲团队有人，则乙团队有人，
依题意得，，
解得，，
∴甲团队最少18人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
22. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．
（2）深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）探究一：；探究二：线段长度的最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形，
（2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值．
【小问1详解】
解：两个完全相同的矩形纸片和，
，
是等腰三角形，
，．，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【小问2详解】
探究一：，，，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，
是的中点，
，且，
，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
，
的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．
23. 如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点的坐标；
（3）设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
【小问2详解】
设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，
∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
【小问3详解】
存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，
，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，
由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．