泰州市二○二三年初中学业水平考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
请注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效
3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 若，下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．与无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C 试验次数越多，f越接近于P
D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5. 函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6. 菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．
【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接，相交于点O，与交于点E，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∴A，，C三点共线，
∴，
又∵，
∴，，
∵重叠部分的面积，
∴重叠部分的面积；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9. 两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10. 若，则的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由，可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
11. 半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为的圆周长的五分之一即可．
【详解】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12. 七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh，则m__________2.6（填“＞”“＝“＜”）
【答案】
【解析】
【分析】根据中位数的意义解答即可．
【详解】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第组的人数分别为5，7，12，9，7，
所以第20、21个数据都在第3组，即，这两个数的平均数一定小于2.6，
故答案为：．
【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13. 关于x的一元二次方程的两根之和为______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
14. 二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______（填一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，
由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，异号，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
15. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里．
【答案】9
【解析】
【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．
【详解】解：如图，表示圆形城堡，
由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，
∴，里，
∵里，
∴里，
∴，
∵，
∴，
∴（里）．
∴城堡的外围直径为（里）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可．
16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________．
【答案】或或
【解析】
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，
由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，
，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，
∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
18. 如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________（精确到）；
这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年；
（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】（1）26，2022年
（2）不同意．理由见详解
【解析】
【分析】（1）将图中数据分别计算年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；
（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
【小问1详解】
2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．
故答案为：26，2022年；
【小问2详解】
不同意．理由如下：
2022年新能源汽车销售量的增长率为：，
2021年新能源汽车销售量的增长率为：，
年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19. 某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．
【答案】小明、小丽选择不同类型的概率为．
【解析】
【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【答案】②③，①；证明见详解
【解析】
【分析】根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出，在求证三角形全等得出角相等，求得，进而得出结论平分．
【详解】②③，①
证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：②③①．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21. 阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
任务：
（1）不等式的解集为_____________；
（2）3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
【答案】（1）
（2）D （3）图像见解析，不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）如图1，作的图像，由方法1可知，不等式的解集为；
（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；
（3）如图2，作函数与的图像，由图像可得，的解集为，或，进而可得的解集．
【小问1详解】
解：如图1，作的图像，
由方法1可知，不等式的解集为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，
故选：D；
【小问3详解】
解：如图2，作函数与的图像，
由图像可得，的解集为，或，
综上，的解集为．
【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．
22. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）
【答案】堤坝高为8米，山高为20米．
【解析】
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，
∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. 某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？
【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量在之间时的最大利润为22500元；
（3）当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【解析】
【分析】（1）用销售量×利润计算即可；
（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据（2）中解析式，令y=22100，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
当时，，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
【小问2详解】
解：设一次性销售量在之间时，
销售价格为，
∴
，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在之间时的最大利润为22500元；
【小问3详解】
解：由（2）知，当时，
，
∴当一次性销售量在之间时，利润为22100元，
∴，
解得，
∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
24. 如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．
（1）请你证明游戏1中发现的结论；
（2）请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得，根据题意可得，再设，然后表示出、，再由锐角三角函数求出即可；
（2）由折叠的性质可知，，从而可得出，进而得到，，由（1）知，可得，在中求出的正切值即可解答．
小问1详解】
证明：由折叠的性质可得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，，
，
即，
，
解得，
根据勾股定理可得，
，
即，
．
解得，
，
，
点为的中点．
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，如图：
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
由（1）知，可得，
，
设，则，，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25. 在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．
（1），，求函数的表达式及的面积；
（2）当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
【答案】（1）函数的表达式为，的面积为
（2）不变，理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可；
（2）求解过程同（1）；
（3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴函数的表达式为，的面积为；
【小问2详解】
解：的面积不变，理由如下：
∵，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴的面积不变；
【小问3详解】
解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：
设直线的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，
∴直线与边的交点坐标为，
当，，
∴直线与边的交点在函数的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26. 已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】（1）①；②；
（2）见解析； （3）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【小问1详解】
解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
【小问2详解】
证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
【小问3详解】
证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．