数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；
B．，故B选项计算错误，不合题意；
C．，故C选项计算错误，不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
6. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7. 阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．
根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；
D．平均数为，
方差为，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．
9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作___________．
【答案】
【解析】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：∵“正”和“负”相对，
∴进货10件记作，那么出货5件应记作． 故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．
12. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．
【详解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．
13. 如图，在菱形中，，则的长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
【详解】解：，
，
，
∵
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
15. 已知，且，则的值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，即．
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．
16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
即．
在和中，
．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
21. 如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．
【小问1详解】
证明是的切线，
，即．
是的直径，
．
∴．
，
，
，即，
．
【小问2详解】
解：与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）
（2）应往袋中加入黄球，见解析
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球概率即可求解．
【小问1详解】
解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
【小问2详解】
他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
23. 阅读下列材料，回答问题
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是___________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）①；②
（2）相似三角形的判定与性质
（3）最大宽度为，见解析
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；
求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【小问1详解】
∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大宽度为．
【小问2详解】
根据相似三角形的判定和性质求得，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
【小问3详解】
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
24. 已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）面积为定值，其面积为2
【解析】
【分析】（1）将代入，即可解得；
（2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线；
（3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2．
【小问1详解】
解：因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：
设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
【小问3详解】
解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
25. 如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若是的中点，如图2．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论；
（2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答；
（3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【小问1详解】
解： 是由线段绕点顺时针旋转得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问2详解】
解：如图1：设与的交点为，
，
，
，
．
，
，
．
又，
．
，
．
【小问3详解】
解：如图2：延长交于点，连接，
，
，
．
是的中点，
．
又，
，
．
，
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
，即．
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．