2023年初中毕业生毕业升学考试
数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项
1.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定区域粘贴条形码．
2.回答第一部分（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．答案写在本试卷上无效．
3.回答第二部分（非选择题）时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写，字迹工整，作答时，将答案写在答题卡上，请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出范围的答案无效．答案写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5.本试卷共8页、如遇缺页、漏页、字迹不清等情况，考生须及时报告监考教师．
第一部分 选择题
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解．
【详解】在数轴上，点到原点的距离是，
所以，的绝对值是，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
2. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，下面一层有3个小正方形并排放在一起，上面一层最中间有1个小正方形，
即看到的图形为
，
故选B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，画出该组合体的主视图是正确判断的前提．
3. 有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（ ）．
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①；故①错误；
②；故②错误；
③；故③正确；
④；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．
4. 如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A. 50° B. 40° C. 35° D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角求出，利用角平分线求出，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】解：∵，
∴
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，正确掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方以及合并同类项的运算法则进行计算，逐个判断．
【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，计算正确，故此选项符合题意；
C. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D. ，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法，积的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则正确计算是解题关键．
6. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 四边形内角和是360° B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军
C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴数轴表示如下所示：
故选B．
【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点．
8. 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得，
可列
故选：C．
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
9. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】向左平移5个单位长度，即点的横坐标减5，纵坐标不变，从而即可得到的坐标．
【详解】解：点向左平移5个单位长度后，
坐标为，
即的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移规律变化是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13. 某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是______小时．
【答案】9
【解析】
【分析】一组数据中出现次数最多的数据即为众数，根据定义解答．
【详解】解：35个数据中7出现4次，8出现12次，9出现13次，10出现6次，
∴9出现次数最多，
∴众数为9小时，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了众数的定义，正确理解众数的定义是解题的关键．
14. 若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
15. 如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.
【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，
∴垂直平分,即，
∴，
又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，
∴，
在中，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.
16. 如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
三、解答题（17小题8分，18小题12分，共20分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．
18. 某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成如下不完整统计图表
学生周末家务劳动时长分组表
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______名学生，条形统计图中的______，D组所在扇形的圆心角的度数是______；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
【答案】（1）50，9，
（2）估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数据计算即可；
（2）根据（1）求出的D组所占的比例计算结果；
（3）列出所有可能情况求概率．
【小问1详解】
解：这次抽样调查共抽取的人数有：（人），
B组的人数为：（人），
D组所占的比例为：
∴D组所在扇形的圆心角的度数是：；
【小问2详解】
解：根据题意得，（人）
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
【小问3详解】
解：列表如下：
共有12中等可能结果，其中恰好选中两名男生的结果数为6，
∴恰好选中两名男生的概率.
【点睛】本题主要考查了统计的实际问题，涉及用样本估计总体的数量、求圆心角的度数，求概率等，属于基础题要认真读图.
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19. 如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，则．
小问1详解】
证明：在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
20. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程
【解析】
【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解．
【详解】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键．
22. 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【解析】
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
【小问2详解】
解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键．
六、解答题（本题满分12分）
23. 如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证；
（2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解．
【小问1详解】
连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵在中，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
∵在中，，
∴，
在（1）中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，解得：（负值舍去），
即同理在中，可得，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（经检验，符合题意），
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键．
七、解答题（本题满分14分）
24. 在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．
（1）如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______；
（2）如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，，在上截取，连接，证明，推出，，得到；
（2）当时，得到，，过点G作交于点M，证明，推出，得到，由此得到，进而推出；
（3）由（2）得，设，由点G是的中点，得到，推出，，过点E作于N，根据角的性质及勾股定理求出，，即可得到，根据公式计算即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∵在中，，
∴，，
∴
∴，
在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
，理由如下：
当时，，
∴，，
过点G作交于点M，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【小问3详解】
∵，，
∴，
设，
∵点G是的中点，
∴，
∴,
∴，
∴，，
过点E作于N，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解．
（3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：由，当时，，
解得：，
∴，
当时，，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴，交于点，
∵，
∴
∵
∴，则
设，则即，
将点代入
即
解得：或（舍去）
当时，，
∴；
【小问3详解】
∵，，
则，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
设直线解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为
如图所示，以为对角线作正方形，则，
∵，则，则，，
设，则，
解得：，，
则，，
设直线的解析式为，直线的解析式为
则，，
解得：，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴解得：，则，
解得：,则，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．