2021年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）
1．（2分）（2021•镇江）的绝对值等于 ．
2．（2分）（2021•镇江）使有意义的的取值范围是 ．
3．（2分）（2021•镇江）8的立方根是 ．
4．（2分）（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形的每个内角的度数是 ．
5．（2分）（2021•镇江）一元二次方程的两根分别为 ．
6．（2分）（2021•镇江）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．
7．（2分）（2021•镇江）某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是 环．
8．（2分）（2021•镇江）如图，点，分别在的边，上，，，分别是，的中点，若，则 ．
9．（2分）（2021•镇江）如图，点，，，在网格中小正方形的顶点处，直线经过点，，将沿平移得到，是的对应点，再将这两个三角形沿翻折，，分别是，的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则的长为 ．
10．（2分）（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即可）
11．（2分）（2021•镇江）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一红一黄）（摸出两红），则放入的红球个数为 ．
12．（2分）（2021•镇江）如图，等腰三角形中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则长的最大值为 ．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13．（3分）（2021•镇江）如图所示，该几何体的俯视图是
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
14．（3分）（2021•镇江）2021年月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为
A． B． C． D．
15．（3分）（2021•镇江）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于
A． B． C． D．
16．（3分）（2021•镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为
A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
17．（3分）（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，满足，这样的圆锥的侧面积
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
18．（3分）（2021•镇江）如图，小明在的方格纸上写了九个式子（其中的是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为，，，每列的三个式子的和自左至右分别记为，，，其中，值可以等于789的是
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•镇江）（1）计算：；
（2）化简：．
20．（10分）（2021•镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到，两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
22．（6分）（2021•镇江）如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，，当 时，四边形是菱形．
23．（6分）（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
24．（6分）（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共人，其中具有大学文化程度的有人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有，的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
25．（6分）（2021•镇江）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1） ；
（2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：；
（3）连接，，当时，直接写出点的坐标： ．
26．（8分）（2021•镇江）如图1，正方形的边长为4，点在边上，经过，，三点．
（1）若，判断边所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，是的中点，交射线于点，当平分时，求的值．
27．（11分）（2021•镇江）将一张三角形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，点，点，二次函数的图象经过点，，该抛物线的对称轴经过点，顶点为．
（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；
（2）点在边上（异于点，，将三角形纸片折叠，使得点落在直线上，且点落在边上，点的对应点记为点，折痕所在直线交抛物线的对称轴于点，然后将纸片展开．
①请作出图中点的对应点和折痕所在直线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接，，在下列选项中：．折痕与垂直，．折痕与的交点可以落在抛物线的对称轴上，，，所有正确选项的序号是 ．
③点在二次函数的图象上，当时，求点的坐标．
28．（11分）（2021•镇江）如图1，，，，为铅直方向的边，，，为水平方向的边，点在，之间，且在，之间，我们称这样的图形为“图形”，记作“图形”．若直线将图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线 （填“是”或“不是” 图形的面积平分线．
【应用】
在图形形中，已知，．
（1）如图4，．
①该图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点，，求长的最大值；
②该图形的面积平分线与边，分别相交于点，，当的长取最小值时，的长为 ．
（2）设，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边，相交的面积平分线，直接写出的取值范围 ．
2021年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）
1．（2分）（2021•镇江）的绝对值等于 5 ．
【解答】解：的绝对值．
故答案是：5．
2．（2分）（2021•镇江）使有意义的的取值范围是 ．
【解答】解：使有意义，则，
解得：．
故答案为：．
3．（2分）（2021•镇江）8的立方根是 2 ．
【解答】解：，
的立方根为2，
故答案为：2．
4．（2分）（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形的每个内角的度数是 ．
【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为，
则，
解得．
故答案为：．
5．（2分）（2021•镇江）一元二次方程的两根分别为 ， ．
【解答】解：方程，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
6．（2分）（2021•镇江）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 96 分．
【解答】解：小丽的平均成绩是（分，
故答案为：96．
7．（2分）（2021•镇江）某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是 9 环．
【解答】解：由统计图可得，
中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是（环，
故答案为：9．
8．（2分）（2021•镇江）如图，点，分别在的边，上，，，分别是，的中点，若，则 ．
【解答】解：，分别是，的中点，
、分别为、的中线，
，
，
，
故答案为：．
9．（2分）（2021•镇江）如图，点，，，在网格中小正方形的顶点处，直线经过点，，将沿平移得到，是的对应点，再将这两个三角形沿翻折，，分别是，的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则的长为 ．
【解答】解：连接，，
由图形变换可知：，
由勾股定理得：，
．
故答案为：．
10．（2分）（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即可）
【解答】解：设一次函数表达式为．
函数值随自变量的增大而减小，
，取．
又一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数表达式为．
故答案为：．
11．（2分）（2021•镇江）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一红一黄）（摸出两红），则放入的红球个数为 3 ．
【解答】解：假设袋中红球个数为1，
此时袋中有1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，，，不符合题意．
假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
（摸出一红一黄），（摸出两红），不符合题意，
假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
（摸出一红一黄）（摸出两红），符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
12．（2分）（2021•镇江）如图，等腰三角形中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则长的最大值为 ．
【解答】解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，
是等腰三角形，
，
过点作于点，
，
，
，
，
当最大时，取最大值，即点与点重合时，最大，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
最大值为：．
故答案为：．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13．（3分）（2021•镇江）如图所示，该几何体的俯视图是
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．
故选：．
14．（3分）（2021•镇江）2021年月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
15．（3分）（2021•镇江）如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
16．（3分）（2021•镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为
A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
【解答】解：把1921代入得：，
把代入得：，
则输出结果为．
故选：．
17．（3分）（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，满足，这样的圆锥的侧面积
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【解答】解：，
，
圆锥的侧面积，
当时，有最大值．
故选：．
18．（3分）（2021•镇江）如图，小明在的方格纸上写了九个式子（其中的是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为，，，每列的三个式子的和自左至右分别记为，，，其中，值可以等于789的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于789；
，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于789；
，
整理得：，
则是整数，故的值可以等于789；
，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于789；
故选：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•镇江）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式
．
20．（10分）（2021•镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
21．（6分）（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到，两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【解答】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
22．（6分）（2021•镇江）如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，，当 10 时，四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）当时，四边形是菱形，
理由如下：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故答案为10．
23．（6分）（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【解答】解：（方法一）设共人合伙买金，金价为钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
（方法二）设共人合伙买金，
依题意得：，
解得：，
．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
24．（6分）（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共人，其中具有大学文化程度的有人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有，的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
【解答】解：由题意得，
下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为，
故答案为：；
（2），
答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为；
（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．
25．（6分）（2021•镇江）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1） 2 ；
（2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：；
（3）连接，，当时，直接写出点的坐标： ．
【解答】解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
26．（8分）（2021•镇江）如图1，正方形的边长为4，点在边上，经过，，三点．
（1）若，判断边所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，是的中点，交射线于点，当平分时，求的值．
【解答】解：（1）如图中，连接，过点作于，交于．
四边形是正方形，
，，
是直径，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
直线与相切．
（2）如图2中，延长交的延长线于，连接．
，，，
，
，
，
，
，
是直径，
，
平分，，，
，
设，
，
，
，
．
27．（11分）（2021•镇江）将一张三角形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，点，点，点，二次函数的图象经过点，，该抛物线的对称轴经过点，顶点为．
（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；
（2）点在边上（异于点，，将三角形纸片折叠，使得点落在直线上，且点落在边上，点的对应点记为点，折痕所在直线交抛物线的对称轴于点，然后将纸片展开．
①请作出图中点的对应点和折痕所在直线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接，，在下列选项中：．折痕与垂直，．折痕与的交点可以落在抛物线的对称轴上，，，所有正确选项的序号是 ， ．
③点在二次函数的图象上，当时，求点的坐标．
【解答】解（1）由题意得：，
解之得：，，，
，
当时，，
．
（2）①如图1中，点，直线即为所求．
②如图2中，设线段的垂直平分线交抛物线对称轴于，交于点，过点作，过点作于，于．
由题意，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，
，
可以假设直线的解析式为，
由，解得，
，，
由．解得，
，，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故选项正确，，错误，
将三角形纸片折叠，使得点落在直线上，且点落在边上，
折痕与垂直，故选项正确，
故答案为：，．
③设．
，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，，
，，即，，
把的坐标代入，得到，，
整理得，，
解得或（舍弃），
，
根据对称性可知也满足条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
28．（11分）（2021•镇江）如图1，，，，为铅直方向的边，，，为水平方向的边，点在，之间，且在，之间，我们称这样的图形为“图形”，记作“图形”．若直线将图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线 是 （填“是”或“不是” 图形的面积平分线．
【应用】
在图形形中，已知，．
（1）如图4，．
①该图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点，，求长的最大值；
②该图形的面积平分线与边，分别相交于点，，当的长取最小值时，的长为 ．
（2）设，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边，相交的面积平分线，直接写出的取值范围 ．
【解答】解：【活动】如图1，直线是该图形的面积平分线；
【思考】如图2，，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】
（1）①如图3，当与重合时，最大，过点作于，
图形的面积，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即长的最大值是；
②如图4，当时最短，过点作于，
设，则，
根据上下两部分面积相等可知，，
解得，即；
故答案为：；
（2），
，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边，相交的面积平分线，
如图5，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边，相交的面积平分线，
即，
，
，
，
．
故答案为：．
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日期：2021/9/13 17:17:17；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736