2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
7．（3分）（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•鞍山）如图，是等边三角形，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点停止运动时，点也随之停止．过点作交于点，连接，，作关于直线对称的△，设运动时间为，△与重叠部分的面积为，则能表示与之间函数关系的大致图象为
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．
11．（3分）（2021•鞍山）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是 ．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形中，，对角线，交于点，，垂足为点，若，则的长为 ．
14．（3分）（2021•鞍山）如图，，定长为的线段端点，分别在射线，上运动（点，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的△，交于点，当是等腰三角形时，的度数为 ．
15．（3分）（2021•鞍山）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则 ．
16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作分别交，于点，，连接交于点，作交于点，交于点．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是 （填序号即可）．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在中，为边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形的面积．
22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门在南门的正北方向，小明自公园北门处出发，沿南偏东方向前往游乐场处；小华自南门处出发，沿正东方向行走到达处，再沿北偏东方向前往游乐场处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门与南门之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为（元，每天的销售量为（件．
（1）求每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2021•鞍山）如图，在中，，，过点作射线交射线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作交直线于点，在上取点，使．
（1）当与线段相交时，
①如图1，当时，线段，和之间的数量关系为 ．
②如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出的长．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．
2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是
A． B． C．0 D．1
【解答】解：因为，
所以最小的实数是．
故选：．
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：．与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
．，故选项不符合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不符合题意，
故选：．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，
，
，
表示在数轴上如图：
故选：．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作，
三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学锻炼时间的平均数，第20名同学的时间为，第21名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：．
7．（3分）（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：连接，如图，
为的直径，
，
，
．
故选：．
8．（3分）（2021•鞍山）如图，是等边三角形，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点停止运动时，点也随之停止．过点作交于点，连接，，作关于直线对称的△，设运动时间为，△与重叠部分的面积为，则能表示与之间函数关系的大致图象为
A． B．
C． D．
【解答】解：如图1中，当点落在上时，取的中点，连接．
，，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当时，过点作于，则，
．
如图3中，当时，，
观察图象可知，选项符合题意，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．
【解答】解：．
故答案为：．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 ．
【解答】解：由图可知：黑色区域在整个地面中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
11．（3分）（2021•鞍山）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 3 ．
【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
平移的距离为3，
故答案为：3．
12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是 ．
【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，
依题意得：．
故答案为：．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形中，，对角线，交于点，，垂足为点，若，则的长为 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（3分）（2021•鞍山）如图，，定长为的线段端点，分别在射线，上运动（点，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的△，交于点，当是等腰三角形时，的度数为 或 ．
【解答】解：，为的中点，
，
，，
又由折叠性质可得，
，
设，则，，，，
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，方程无解，
此情况不存在；
③当时，，
，
解得：，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
15．（3分）（2021•鞍山）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则 18 ．
【解答】解：如图，过点作轴于点．
轴，
，
，
，
，
设，，则，，
，，
，
，
，
，
，
又反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．
16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作分别交，于点，，连接交于点，作交于点，交于点．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是 ①③④ （填序号即可）．
【解答】解：如图1中，过点作于．
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点作于，于，连接．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，
如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
．
当时，原式．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在中，为边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
【解答】解：（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到海报的概率为．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【解答】解：（1）根据题意得：（件，
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为（件，
补全统计图，如图所示：
故答案为：36；
（3）根据题意得：（件，
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形的面积．
【解答】解：（1）将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点作轴，过点作轴，
，
，
，
，
将代入中，
，
解得：，
点坐标为，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解法一：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
点坐标为，，
，
在中，当时，，
解得：，
点坐标为，
，
，
．
解法二：在中，当时，，
点坐标为，
又，
，
，
，
．
22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门在南门的正北方向，小明自公园北门处出发，沿南偏东方向前往游乐场处；小华自南门处出发，沿正东方向行走到达处，再沿北偏东方向前往游乐场处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门与南门之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，
【解答】解：作于，于，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门与南门之间的距离约为1293 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
又，
，
，
，
即是的切线；
（2）是的切线，，
，
，
，
又，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
的半径为5．
24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为（元，每天的销售量为（件．
（1）求每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2021•鞍山）如图，在中，，，过点作射线交射线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作交直线于点，在上取点，使．
（1）当与线段相交时，
①如图1，当时，线段，和之间的数量关系为 ．
②如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出的长．
【解答】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作交于．
，，
是等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
②如图2中，结论：．
理由：过点作于．
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图中，当时，过点作于，过点作于．
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
如图中，当时，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线交轴于点，，
将、坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，
，
交直线于点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，
，
，，即点分别是、的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，
，
，，，；
（3）①当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，如图2，
以为斜边在第一象限内作等腰直角△，
则，，，
以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点，则，
，，
，
，
②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小，如图3，
连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点，
，
经过点，
连接，设抛物线对称轴交轴于点，
则，，
，
，
，
综上所述，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:18:09；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736