宜宾市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．16
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
5．如图，在中，，D是BC上的点，交AC于点E，交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年）
A． B． C． D．
7．某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
9．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
11．已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13．分解因式：______．
14．不等式组的解集为______．
15．如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
16．《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
17．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
18．如图，是边长为10的等边三角形，反比例函数的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若于点B，则k的值为______．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（本题满分10分）
计算：
（1）；
（2）．
20．（本题满分10分）
已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
21．（本题满分10分）
在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
22．（本题满分10分）
宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）
23．（本题满分12分）
如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
24．（本题满分12分）
如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．
（1）求证：DE是的切线；
（2）若点F是OA的中点，，，求EC的长．
25．（本题满分14分）
如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
宜宾市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学学科参考答案与评分细则
一、选择题：共12个小题，每题4分，共48分．
二、填空题：包括6个题，每小题4分，共24分．
13．； 14．； 15．；
16．； 17．289； 18．
三、解答题：（共7个大题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，共78分）．
19．解：（1）原式
（2）原式
20．证明：∵，∴，
在与中，
∴，∴，∴，∴．
21．解：（1）九（1）班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
（2），∴，
（3）（方法一）画树状图：
所有机会均等的结果有12种，其中一男一女的机会有8种，
∴．
（方法二）列表：
所有机会均等的结果有12种，其中一男一女的机会有8种，
∴．
22．解：在中，，，
设，则，由，得，
解得：，∴，
又设，则，
在中，，则，
∴，
在中，，则，
∴，∴，
解得：，∴．
∴求得东楼的高度为40m．
23．解：（1）在中，∵，∴，
∵，∴，∵A、B两点在函数上，
∴，，∴
设，过点C作轴，垂足为E，则，∴，
又∵，∴，
即，，即，∴，∴，
∴ ∴，∴；
（2）解方程组，得，
∴，
过D作轴，垂足为点
∵
∴
．
24．解：（1）证明：连结OC
∵，∴，又∵，∴，
又∵，∴，又∵，∴，
∴，即，∴，∴DE是的切线，
（2）在中，，，
∴，∴，∴，
∴，又∵点F为AO中点，∴，
∴，∵，
∴，∴，即，
∴，∴．
25．解：（1）∵抛物线经过点，，，
∴ 解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，，
∴顶点D的坐标为；
（2）设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，过点F作于点G，
∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，∴，
又∵ ∴
∴ ∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，∴或，当时，
∴
当时，
∴ ∴或；
（3）由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．
在中，，则在中，
∴ 又∵
∴为最小值，又∵，
∴，∴求得的最小值为．